图与网络模型与方法
图与网络数据结构
邻接矩阵表示法
当G为赋权图时：
当G为无权图时：
稀疏矩阵表示法
指矩阵当中零元素很多，非零元素很少的矩阵
稀疏矩阵只是一种存储格式，Matlab中，普通矩阵使用sparse命令变成稀疏矩阵，稀疏矩阵使用full命令变成普通矩阵
最短路问题
Dijksyra算法
例题：
a=zeros(6);
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25;
a(5,6)=55;
a=a+a'
a(find(a==0))=inf
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;
index1=1; %存放存入S集合的顺序
index2=ones(1,length(a)); %全1矩阵，存放始点到第i点最短通路中第i顶点前一顶点的序号
d(1:length(a))=inf;d(1)=0; %存放由始点到第i点最短通路的值
temp=1; %最新P标号的顶点
while sum(pb)<length(a) %看是否所有的点都标记为P标号
tb=find(pb==0); %找到标号为0的点
d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));%更新距离
tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); %求d[tb]序列最小值的下标
temp=tb(tmpb(1));%可能有多条路径同时到达最小值，却其中一个，temp也从原点变为下一个点
pb(temp)=1;%找到最小路径的表对应的pb(i)=1
index1=[index1,temp]; %存放存入S集合的顺序
temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
index2(temp)=index1(temp2(1)); %记录标号索引
end
d, index1, index2
结果：
模板
function [mydistance ,mypath] = mydijkstra(a,sb,db);
%输入:a一邻接矩阵;a(i,j)-i到j之间的距离,可以是有向的
%sb起点的标号, db-终点的标号
%输出:mydistance-最短路的距离，mypath-最短路的路径
n=size(a,1); %获取矩阵a的行数
visited(1:n) = 0;%访问标记数组初始化为0
distance(1:n) = inf;%距离初始化为最大值
distance(sb) = 0;
visited(sb) =1; u=sb; % u为最新的P标号顶点
parent(1:n) = 0;%前驱顶点的初始化
for i = 1:n-1
id= find(visited= =0); %查找未标号的顶点
for v=id:
if a(u, v) + distance(u) < distance(v)
distance(v) = distance(u) + a(u, v);号修改标号值
parent(v) = u;%v的上一个顶点是u
end
end
temp = distance;
temp(visited= =1) =inf;%已标号点的距离换成无穷
[t,u] = min(temp);%找标号值最小的顶点
visited(u) = 1;%标记已经标号的顶点
end
mypath = [];
if parent(ab)~= 0%如果存在路~=不等于
t = db;
mypath = [db];
while t~= sb
P= parent(t);
mypath = [ P mypath];
t=p;
end
end
mydistance = distance( ab);
Floyd算法
求解每对顶点的最短路径
例题的代码：
clear;clc;
n=6; a= zeros(n) ;
a(1,2) =50;a(1,4) =40;a(1,5) =25;a(1,6) =10;
a(2,3) =15;a(2,4) =20;a(2,6) =25;
a(3,4) =10;a(3,5) =20;
a(4,5) =10;a(4,6) =25;
a(5,6) =55;a=a+a';
a(a==0) =inf;%把所有零元素替换成无穷
a([1:n+1:n^2])=0; %对角线元素替换成零,Matlab中数据是逐列存储的
path = zeros(n) ;
for k=1:n
for i=1:n
for j =1:n
if a(i,j) >a(i,k) +a(k,j)
a(i,j) =a(i,k) +a(k,j);
path(i,j) =k;
end
end
end
end
a, path
模板：
function [dist ,mypath] = myfloyd(a,sb, db);
%输入:a邻接矩阵;元素a(i,j)——顶点i到j之间的直达距离,可以是有向的
%sb起点的标号;db终点的标号
%输出:dist-最短路的距离;
%mypath一最短路的路径
n=size(a,1); path = zeros(n);
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if a(i,j) >a(i,k) +a(k,j)
a(i,j) =a(i,k) +a(k,j);
path(i,j) =k;
end
end
end
end
dist =a(sb,ab);
parent =path(sb,:);%从起点sb到终点ab的最短路上各顶点的前驱顶点
parent(parent==0) =sb;%path中的分量为0,表示该顶点的前驱是起点
mypath=ab; t = ab;
while t~=sb
P = parent(t);
mypath=[p,mypath];
t =P;
end
