分式

运算

$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$若\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}则(a+b)(b+c)(c+a)=0$

常用分式裂项

$\frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}$
$\frac{ax^2+bx+c}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}+\frac{C}{x-x_3}$

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常见分式函数

奇函数

$f(x)=\frac{a^x+a^-x}{a^x-a^-x}=\frac{a^x+1}{a^x-1}$
$f(x)=ax+\frac{b}{x}(ab\ne0)=\frac{cx}{ax^2+b}(abc\ne0)$

$f(x)=\frac{cx+d}{ax+b}(ad\ne0,ad\ne bc)$

Step1:函数变形

$f(x)=\frac{cx+d}{ax+b}=\frac{c}{a}+\frac{\frac{ad-bc}{a^2}}{x+\frac{b}{a}}$

Step2:图形变换

$f(x)由反比例函数\frac{\frac{ad-bc}{a^2}}{x}按\vec{m}=(-\frac{b}{a},\frac{c}{a}平移得$

对勾函数 $f(x)=ax+\frac{b}{x}(ab\ne 0)$