最短路径的算法：Floyd算法

Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。

核心思路

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

算法描述

a)　初始化：D[u,v]=A[u,v]
　b)　For k:=1 to n
　　　　For i:=1 to n
　　　　　For j:=1 to n
　　　　　　If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then
　　　　　　　D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];
　c)　算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵

算法过程

• 把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=空值。
• 定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
• 把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
• 在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

时间复杂度

O(n^3)

优缺点分析

Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。

优点： 容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；
缺点： 时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

算法实现

C语言源代码

#include<fstream>
#define Maxm 501

using namespace std;

ifstream fin("APSP.in");
ofstream fout("APSP.out");

int p,q,k,m;
int Vertex,Line[Maxm];
int Path[Maxm][Maxm],Map[Maxm][Maxm],Dist[Maxm][Maxm];

void Root(int p,int q)
{
	if (Path[p][q]>0)
	{
		Root(p,Path[p][q]);
		Root(Path[p][q],q);
	}
	else 
	{
		Line[k]=q;
		k++;
	}
}
int main()
{
	memset(Path,0,sizeof(Path));
	memset(Map,0,sizeof(Map));
	memset(Dist,0,sizeof(Dist));

	fin >> Vertex;
	for(p=1;p<=Vertex;p++)
		for(q=1;q<=Vertex;q++)
		{
			fin >> Map[p][q];
			Dist[p][q]=Map[p][q];
		}
	for(k=1;k<=Vertex;k++)
		for(p=1;p<=Vertex;p++)
			if (Dist[p][k]>0)
		for(q=1;q<=Vertex;q++)
			if (Dist[k][q]>0)
			{
				if (((Dist[p][q]>Dist[p][k]+Dist[k][q])||(Dist[p][q]==0))&&(p!=q))
				{
					Dist[p][q]=Dist[p][k]+Dist[k][q];
					Path[p][q]=k;
				}
			}

	for(p=1;p<=Vertex;p++)
	{
		for(q=p+1;q<=Vertex;q++)
		{
			fout << "\n==========================\n"; 
			fout << "Source:" << p << '\n' << "Target " << q << '\n'; 
			fout << "Distance:" << Dist[p][q] << '\n';
			fout << "Path:" << p;
			k=2;
			Root(p,q);
			for(m=2;m<=k-1;m++)
				fout << "-->" << Line[m];
				fout << '\n';
				fout << "==========================\n";
		}
	}
fin.close();
fout.close();
return 0;
}

注解:无法连通的两个点之间距离为0;

输入：Sample Input

7
00 20 50 30 00 00 00
20 00 25 00 00 70 00
50 25 00 40 25 50 00
30 00 40 00 55 00 00
00 00 25 55 00 10 70
00 70 50 00 10 00 50
00 00 00 00 70 50 00

输出：Sample Output

==========================
Source:1
Target 2
Distance:20
Path:1-->2
==========================
==========================
Source:1
Target 3
Distance:45
Path:1-->2-->3
==========================
==========================
Source:1
Target 4
Distance:30
Path:1-->4
==========================
==========================
Source:1
Target 5
Distance:70
Path:1-->2-->3-->5
==========================
==========================
Source:1
Target 6
Distance:80
Path:1-->2-->3-->5-->6
==========================
==========================
Source:1
Target 7
Distance:130
Path:1-->2-->3-->5-->6-->7
==========================
==========================
Source:2
Target 3
Distance:25
Path:2-->3
==========================
==========================
Source:2
Target 4
Distance:50
Path:2-->1-->4
==========================
==========================
Source:2
Target 5
Distance:50
Path:2-->3-->5
==========================
==========================
Source:2
Target 6
Distance:60
Path:2-->3-->5-->6
==========================
==========================
Source:2
Target 7
Distance:110
Path:2-->3-->5-->6-->7
==========================
==========================
Source:3
Target 4
Distance:40
Path:3-->4
==========================
==========================
Source:3
Target 5
Distance:25
Path:3-->5
==========================
==========================
Source:3
Target 6
Distance:35
Path:3-->5-->6
==========================
==========================
Source:3
Target 7
Distance:85
Path:3-->5-->6-->7
==========================
==========================
Source:4
Target 5
Distance:55
Path:4-->5
==========================
==========================
Source:4
Target 6
Distance:65
Path:4-->5-->6
==========================
==========================
Source:4
Target 7
Distance:115
Path:4-->5-->6-->7
==========================
==========================
Source:5
Target 6
Distance:10
Path:5-->6
==========================
==========================
Source:5
Target 7
Distance:60
Path:5-->6-->7
==========================
==========================
Source:6
Target 7
Distance:50
Path:6-->7
==========================

Matlab源代码

function [D,R]=floyd(a)
n=size(a,1);
D=a
for i=1:n
   for j=1:n
     R(i,j)=j;
   end
end
R
for k=1:n
   for i=1:n
      for j=1:n
         if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
            D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
            R(i,j)=R(i,k);
         end
      end
   end
   k
   D
   R
end

在M文件中建立

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