主成分分析PCA

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主成分分析PCA

降维的必要性：

　　1.多重共线性–预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定，从而可能导致结果的不连贯。

　　2.高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间，而在十维空间上只有0.02%。

　　3.过多的变量会妨碍查找规律的建立。

　　4.仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。

降维的目的：

　　1.减少预测变量的个数

　　2.确保这些变量是相互独立的

　　3.提供一个框架来解释结果

　　降维的方法有：主成分分析、因子分析、用户自定义复合等。

　　PCA（Principal Component Analysis）不仅仅是对高维数据进行降维，更重要的是经过降维去除了噪声，发现了数据中的模式。

　　PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。
　　PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。

预备知识

样本X和样本Y的协方差(Covariance)：
　　　　　　　 $这里写图片描述$

　　协方差为正时说明X和Y是正相关关系，协方差为负时X和Y是负相关关系，协方差为0时X和Y相互独立。
Cov(X,X)就是X的方差(Variance).

　　当样本是n维数据时，它们的协方差实际上是协方差矩阵（对称方阵），方阵的边长是 $这里写图片描述$ 。比如对于3维数据(x,y,z)，计算它的协方差就是：
　　　　　　 $这里写图片描述$

　　若 $这里写图片描述$ ，则称 $这里写图片描述$ 是A的特征值，X是对应的特征向量。实际上可以这样理解：矩阵A作用在它的特征向量X上，仅仅使得X的长度发生了变化，缩放比例就是相应的特征值 $这里写图片描述$ 。

　　当A是n阶可逆矩阵时，A与 $P^{-1}AP$ 相似，相似矩阵具有相同的特征值。

特别地，当A是对称矩阵时，A的奇异值等于A的特征值，存在正交矩阵 $Q（Q^{-1}=Q^T）$ ，使得：
　　　　　　　　　这里写图片描述

对A进行奇异值分解就能求出所有特征值和Q矩阵。

$这里写图片描述$ ， D是由特征值组成的对角矩阵

由特征值和特征向量的定义知，Q的列向量就是A的特征向量。

Jama包

　　Jama包是用于基本线性代数运算的java包，提供矩阵的cholesky分解、LUD分解、QR分解、奇异值分解，以及PCA中要用到的特征值分解，此外可以计算矩阵的乘除法、矩阵的范数和条件数、解线性方程组等。

PCA过程

　　1.特征中心化。即每一维的数据都减去该维的均值。这里的“维”指的就是一个特征（或属性），变换之后每一维的均值都变成了0。
举例
（Ps:因为不知道如何将代码段折叠，所以原始数据就不贴了，详细的可以参考原始博文）
主要步骤为：

原始数据是150×4的矩阵A。
每一列减去该列均值后，得到矩阵B。
2.计算B的协方差矩阵C。
计算协方差矩阵C的特征值和特征向量。
C=V*S*V-1
S=
4.2248414 　　　　0 　　　　　　0 　　　　　　0
0 　　　　　　　　 0.24224437 　0 　　　　　 0
0 　　　　　　　　 0 　　　　　　0.078524387 0
0 　　　　　　　　 0 　　　　　　0 　　　　　　 0.023681839
```
V=

0.36158919 　　0.65654382 　　-0.58100304 　　0.3172364 
-0.082268924 　　 0.72970845 　　 0.596429220 　　    -0.3240827 
0.85657212　　-0.17576972 0.　　072535217 　　 -0.47971643 
0.35884438 　　 -0.074704743 　　 0.54904125 　　 0.75113489
```
选取大的特征值对应的特征向量，得到新的数据集
　　特征值是由大到小排列的，前两个特征值的和已经超过了所有特征值之和的97%。我们取前两个特征值对应的特征向量，得到一个4×2的矩阵M。令 $A_{150\times2}^{'}=A_{150×4}\times M_{4\times 2}$ ，这样我们就把150×4的数据A集映射成了150×2的数据集A’，特征由4个减到了2个。
　　
　　每个样本正好是二维的，画在平面坐标系中如图：
　　
　　鹫尾花数据集共分为3类花（前50个样本为一类，中间50个样本为一类，后50个样本为一类），从上图可以看到把数据集映射到2维后分类会更容易进行，直观上看已经是线性可分的了，下面我们用自组织映射网络对其进行聚类。

　　当然我们已知了有3类，所以在设计SOFM网络时，我把竞争层节点数设为3，此时的聚类结果是前50个样本聚为一类，后100个样本聚为一类。当把竞争层节点数改为4时，仅第2类中的3个样本被误分到了第3类中，整体精度达98%！

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>

using namespace std;

const int sample_num=150;      //鹫尾花样本个数
const int class_num=4;      //指定聚类的数目
int iteration_ceil;      //迭代的上限
vector<pair<double,double> > flowers(sample_num);      //样本数据
vector<vector<double> > weight(class_num);   //权向量
const double prime_eta=0.7;     //初始学习率

/*向量模长归一化*/
void normalize(vector<double> &vec){
    double sum=0.0;
    for(int i=0;i<vec.size();++i)
        sum+=pow(vec[i],2);
    sum=sqrt(sum);
    for(int i=0;i<vec.size();++i)
        vec[i]/=sum;
}

/*从文件读入鹫尾花样本数据*/
void init_sample(string filename){
    ifstream ifs(filename.c_str());
    if(!ifs){
        cerr<<"open data file failed."<<endl;
        exit(1);
    }
    for(int i=0;i<sample_num;++i){
        vector<double> X(2);
        ifs>>X[0]>>X[1];
        normalize(X);       //输入向量模长归一化
        flowers[i]=make_pair(X[0],X[1]);
    }
    ifs.close();
}

/*初始化权值*/
void init_weight(){
    srand(time(0));
    for(int i=0;i<weight.size();++i){
        vector<double> ele(2);
        ele[0]=rand()/(double)RAND_MAX;
        ele[1]=rand()/(double)RAND_MAX;
        normalize(ele);     //权值向量模长归一化
        weight[i]=ele;
    }
}

/*根据输入，选择获胜者*/
int pick_winner(double x1,double x2){
    int rect=-1;
    double max=0.0;
    for(int i=0;i<weight.size();++i){
        double product=x1*weight[i][0]+x2*weight[i][1];
        if(product>max){
            max=product;
            rect=i;
        }
    }
    return rect;
}

int main(int argc,char *argv[]){
    cout<<"input iteration count"<<endl;
    int count;      //每个样本迭代的次数
    cin>>count;
    cout<<"input data file name"<<endl;
    string filename;
    cin>>filename;
    iteration_ceil=count*sample_num;
    init_sample(filename);
    init_weight();

    double eta=prime_eta;
    double gradient1=-1*9*prime_eta/iteration_ceil;
    double gradient2=-1*prime_eta/(9*iteration_ceil);
    double b1=prime_eta;
    double b2=prime_eta/9;
    for(int iteration=0;iteration<iteration_ceil;++iteration){
        int flower_index=iteration%sample_num;
        double x1=flowers[flower_index].first;
        double x2=flowers[flower_index].second;
        int winner=pick_winner(x1,x2);
        /*更改获胜者的权值*/
        weight[winner][0]+=eta*(x1-weight[winner][0]);
        weight[winner][1]+=eta*(x2-weight[winner][1]);
        /*权向量归一化*/
        for(int i=0;i<weight.size();++i){
            vector<double> W(2);
            W[0]=weight[i][0];
            W[1]=weight[i][1];
            normalize(W);
            weight[i][0]=W[0];
            weight[i][1]=W[1];
        }
        /*更新学习率*/
        if(iteration<0.1*iteration_ceil){   //在前10%的迭代中，学习率线性下降到原来的10%
            eta=gradient1*iteration+b1;
        }
        else{       //后90%的迭代中线性降低到0
            eta=gradient2*iteration+b2;
        }
    }

    for(int i=0;i<sample_num;++i){
        double x1=flowers[i].first;
        double x2=flowers[i].second;
        int winner=pick_winner(x1,x2);
        cout<<i+1<<"\t"<<winner+1<<endl;
    }
    return 0;
}

　　输出聚类结果：（原始数据，中间归一化数据，及结果输出参见原始博文）
原文来自:博客园（华夏35度）http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang 作者:Orisun

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