概率论知识复习

0. 基本概念

  实验(experiment)包括了步骤(procedures)、概率模型(model)、观察(observation)。
  结果是实验中可能出现的结果(outcome)。
  样本空间是实验所有可能结果的集合。（Sample Space）简称S。
  事件代表的是对实验结果的某种描述，也可以看成是结果的集合，是样本空间的子集。
  概率就是实验结果符合某事件描述的机会有多大。

  事件空间的本质是set of set，样本空间属于事件空间。概率是个函数，是从事件空间到[0,1]的映射。

1. 概率计算

1.1 图解复杂概率问题

  范例：兄弟情。明、华兄弟情笃。故决定一人放弃追求小美以免伤情谊。于罐中放入两白球、一黑球。游戏规则如下：猜拳决定谁先，之后轮流罐中取球；每次可取一至二球，直至有人抽中黑球为止(不放回取球)。抽中黑者退出追求。

  已知猜拳输赢机率为0.5，每次明取球取一颗之机率为0.4，取两颗机率为0.6 。每次华取球取一颗之机率为0.7，取两颗机率为0.3。问最后小明退出追求之机率为？

2. 随机变量

  随机变量不是变量，而是实验结果的函数。它是把实验结果进行数字化的函数。 $X:S\rightarrow R$

2.1 随机变量的种类

  随机变量分为离散型随机变量和连续性随机变量。离散型随机变量指的是随机变量的值是有限个或者可数的无穷多个。

2.1.1 可数和不可数

  一个集合若是不可数的，这代表它包含的东西是无法可以一个个被数的。不管用什么方法数它里面的东西，它里面一定有一样东西是你没数到的！

  第 N位数字定为“9 −第 N 个被数数字的第 N位数字

3. 概率论和数理统计的关系是什么？

  概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的应用。数理统计是通过采集数据、数据分析、得出尽可能正确的结论。其中数据分析指的是选择模型和参数估计。而选择模型和参数估计就会用到概率论。

3.1 为什么得到的是尽可能正确的结论

  采集数据本质上是对总体进行采样，只有数据量解决无穷大才能得到正确的结论。而样本数量有限，就会使得结论有误差，但我们要得到尽可能正确的结论（前提是每个样本被采样的概率相等）。

  得到结论后，我们需要对结论进行进一步判断，接受或者拒绝该结论。但可能会出现两个问题，以灯泡寿命问题为例，得到了样本平均值 $\overline { X }$，将 $\overline {X}$和指定数 $l$进行比较，从而接收或者拒绝这批灯泡。

  但可能会出现两个问题，在进行假设检验时提出原假设和备择假设，原假设实际上是正确的，但我们做出的决定是拒绝原假设，此类错误称为第一类错误。原假设实际上是不正确的，但是我们却做出了接受原假设的决定，此类错误称为第二类错误。

4. 一维随机变量

4.1 离散型随机变量

  设某事件A在一次试验中发生的概率为 $p$，现把这个试验独立地重复 $n$次， $X$为 $n$次试验中 $A$发生的次数，则 $X$可取 $0,1,\dots n$等值。为确定其概率分布，考虑事件 $\{X=i\}$。要这个事件发生，必须在这 $n$次试验的原始记录
$AA\overline{A}\dots\overline{A}A\overline{A}$

中，有 $i$个 $A$， $n-i$个 $\overline{A}$，每个 $A$有概率 $p$，而每个 $\overline{A}$有概率 $1-p$。

5. 数学期望

  设Z是随机变量X、Y的函数（g是连续函数） $Z=g(X,Y)$，Z是一个一维随机变量，二维随机变量（X，Y）的概率密度为 $f(x,y)$，则有：
$E(Z)=E(g(X,Y))=\int \int g(x,y) f(x,y) dx dy$
https://www.cc.gatech.edu/~hic/8803-Fall-09/Schedule.html