一、问题描述
给定一个n个点m条边的有向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
再给定k个询问,每个询问包含两个整数x和y,表示查询从点x到点y的最短距离,如果路径不存在,则输出“impossible”。
数据保证图中不存在负权回路。
输入格式
- 第一行包含三个整数n,m,k
- 接下来m行,每行包含三个整数x,y,z,表示存在一条从点x到点y的有向边,边长为z。
- 接下来k行,每行包含两个整数x,y,表示询问点x到点y的最短距离。
输出格式
- 共k行,每行输出一个整数,表示询问的结果,若询问两点间不存在路径,则输出“impossible”。
数据范围
- 1≤n≤2001≤n≤200,
1≤k≤n21≤k≤n2
1≤m≤200001≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。
输入样例:
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例:
impossible
1
二、什么是 Floyd 算法 ?
- 多源最短路算法,复杂度最高 ,通常用在点比较少且起点不固定的问题中。
- 能解决存在负边但不能解决负环图最短路问题。
算法思想
从一个点 i 到另一个点 j,无非就两种走法:
- 直接从 i 到 j
- 通过中间点 k 中转,i—>k—>j
Floyd 算法就是遍历所有情况,如果通过某个中转点 k 的距离小于直接到达距离,就更新这两点间的距离为中转距离。
需要注意的问题:
- Q1:如果解决重边和自环?
A1:如果有自环,那么临界矩阵一定是 这些位置,所以只要让这些位置的值置为 0,即代表自己到自己的距离为 0。 - Q2:如何解决重边?
A2:这个好办,当有新的赋值时,取min(新值,旧值)
即可。
import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
static int V, E, k;
static int[][] dp;
static int INF = 0x3f3f3f3f;
static void floyd() {
for (int k = 1; k <= V; k++)
for (int i = 1; i <= V; i++)
for (int j = 1; j <= V; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
}
}
public static void main(String[] args) throws IOException {
Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
BufferedWriter w = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
V = sc.nextInt();
E = sc.nextInt();
k = sc.nextInt();
dp = new int[V+1][V+1];
for (int i = 1; i <= V; i++)
for (int j = 1; j <= V; j++) {
if (i == j) //防止自环
dp[i][j] = 0;
else
dp[i][j] = INF;
}
for (int i = 0; i < E; i++) {
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
int c = sc.nextInt();
dp[a][b] = Math.min(dp[a][b], c); //解决重边问题
}
floyd();
for (int i = 0; i < k; i++) {
int x = sc.nextInt();
int y = sc.nextInt();
if (dp[x][y] > INF / 2)
System.out.println("impossible");
else
System.out.print(dp[x][y]);
}
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度: ,
- 空间复杂度: ,