Happy 2004（积性函数、快速幂取模、费马小定理、求因数和）

题目

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 20041 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.
Input
The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).
A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.
Output
For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.
Sample Input
1
10000
0
Sample Output
6
10

积性函数

本题中，2004的约数和 $S(2004^x)$就是一个积性函数
积性函数:
$p = a \times b\Rightarrow S(p) = S(a) \times S(b)$
$p^n = a^n\times b^n\Rightarrow S(p^n) = S(a^n) \times S(b^n)$
a和b均为质数

求因数和

$S(p^n) =$ ${p^{n + 1} - 1}\over{p - 1}$
$p$是质数

费马小定理

定理

假如是一个整数 $a$
， $p$是一个质数， $a^p - a$那么是 $p$的倍数，可以表示为
$a^p \% p = a$
如果 $a$不是 $p$的倍数，这个定理也可以写成
$a^{p - 1}\%p = 1$
在本题中，费马小定理的应用为：
$a$与 $p$互质时，
有 $a^{p - 1} \% p =1$
再由同余定理： $1\%p = 1$
可得 $a^{p-1}\%p = 1\%p = 1$

取模

加减法

$(a \pm b)\%p = a\%p \pm b\%p$

乘法

$(a \times b) \% p = (a\%p) \times (b \% p) \%p$

除法

//不能直接分配了，要转化成乘法再做

结论

$(\frac{a}{b})\% c = (a \times b^{c - 2}) \% c$

推导

$(\frac{a}{b})\% c = (a \times b^{-1}) \% c = (a \times b^{-1} \times 1 ) \%c$
$(a \times b^{-1} \times b^{c - 1}) \% c = (a \times b^{c - 2}) \% c$

快速幂取模

快速幂

求 $x^n$

int pow(int x,int n)
{
    int ans = 1,base = x;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            ans *= base;
        base *= base;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

快速幂取模

求 $x^n\%p$

int pow_mod(int x, int n, int p)
{
    int base = x, ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ans *=  base;
        base = (base * base) % p;
        n >>= 1;
    }
    return ans % p;
}

题目代码

#include <stdio.h>
long long int pow_mod(int x,int b);
int cal(int x);
int main()
{
    int x[100],s[100];
    int counter = 0,i;
    scanf("%d",x);
    while(x[counter] != 0)
    {
        s[counter] = cal(x[counter]) % 29;
        //printf("%d\n",s[counter]);
        counter++;
        scanf("%d",&x[counter]);
    }
    for(i = 0;i < counter;i++)
        printf("%d\n",s[i]);
    return 0;
}
int cal(int x)
{
    int a,b,c;
    a = (pow_mod(2, 2 * x + 1) - 1 ) % 29;
    b = (pow_mod(3, x + 1) - 1) * pow_mod(2, 27) % 29;
    c = (pow_mod(22, x + 1) - 1) * pow_mod(21, 27) % 29;
    return a * b * c % 29;
}
long long int pow_mod(int x,int b)
{
    long long int base = x, ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) ans *=  base;
        base = (base * base) % 29;
        b >>= 1;
    }
    return ans % 29;
}

坑点

1.取模那里要用long long int，用int 可能会不够长，我用int的时候会出现WA，改成long long int 就accepted了（不过我没想明白为什么不够长，base是不断取模的，按道理来讲，也不会太大啊？）

• 我也不知道这道题happy不happy，反正我是不怎么happy了。。。
  总结了多位大佬们的博客，加上自己的一些理解，写了一份给自己看的总结，看不懂就去看看大佬们写的博客吧。这个博客主要还是写给我自己看的，阅读性不太强。