题目描述
给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。
进阶:
给出时间复杂度为O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)内用一趟扫描做到吗？
要求算法的空间复杂度为O(n)。
你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount）来执行此操作。
算法思路
最简单的时间复杂度为O(n*len(integer))，
class Solution:
def countBits(self, num: int) -> List[int]:
res=[]
for i in range(num+1):
res.append(bin(i).count('1'))
return res
执行用时 :104 ms, 在所有 Python3 提交中击败了53.64%的用户
内存消耗 :20.3 MB, 在所有 Python3 提交中击败了11.11%的用户
动态规划
标签里有动态规划，在这个提示下思考，所有2的幂的二进制都只有一个1，
class Solution:
def countBits(self, num: int) -> List[int]:
if num==0:return[0]
res=[0,1]
one=[2**i for i in range(1,33)]
for i in range(2,num+1):
for k,v in enumerate(one):
if i<v:
res.append(res[i-one[k-1]]+1)
break
one=one[k-1:]
return res
无语于怎么改都不见快。
规律
class Solution(object):
def countBits(self, num):
"""
1: 0001 3: 0011 0: 0000
2: 0010 6: 0110 1: 0001
4: 0100 12: 1100 2: 0010
8: 1000 24: 11000 3: 0011
16:10000 48: 110000 4: 0100
32:100000 96: 1100000 5: 0101
由上可见：
1、如果 i 为偶数，那么f(i) = f(i/2) ,因为 i/2 本质上是i的二进制左移一位，低位补零，所以1的数量不变。
2、如果 i 为奇数，那么f(i) = f(i - 1) + 1， 因为如果i为奇数，那么 i - 1必定为偶数，而偶数的二进制最低位一定是0，
那么该偶数 +1 后最低位变为1且不会进位，所以奇数比它上一个偶数bit上多一个1，即 f(i) = f(i - 1) + 1。
:type num: int
:rtype: List[int]
"""
ret = [0]
for i in range(1, num + 1):
if i % 2 == 0: # 偶数
ret.append(ret[i//2])
else: # 奇数
ret.append(ret[i - 1] + 1)
return ret
也不见快就是了。
python果然慢的一批啊。
位运算
高阶应用。
方法一：i & (i - 1)可以去掉i最右边的一个1（如果有），因此 i & (i - 1）是比 i 小的，而且i & (i - 1)的1的个数已经在前面算过了，所以i的1的个数就是 i & (i - 1)的1的个数加上1
public int[] countBits(int num) {
int[] res = new int[num + 1];
for(int i = 1;i<= num;i++){ //注意要从1开始，0不满足
res[i] = res[i & (i - 1)] + 1;
}
return res;
}
方法二：i >> 1会把最低位去掉，因此i >> 1 也是比i小的，同样也是在前面的数组里算过。当 i 的最低位是0，则 i 中1的个数和i >> 1中1的个数相同；当i的最低位是1，i 中1的个数是 i >> 1中1的个数再加1
public int[] countBits(int num) {
int[] res = new int[num + 1];
for(int i = 0;i<= num;i++){
res[i] = res[i >> 1] + (i & 1); //注意i&1需要加括号
}
return res;
}
class Solution:
def countBits(self, num: int) -> List[int]:
ret = [0]
for i in range(1, num + 1):
ret.append(ret[i&(i-1)] + 1)
return ret
