数学 - 43.从1到n整数中1出现的次数

思路：数学规律（来源编程之美）
首先我们来看几个数学规律。

0~10 个位出现1的次数为 1次
也就是1 。

0~100 十位出现1的次数为10次
分别是10 11 12 13 14 15 16 17 18 19；

0~1000 百位出现1的次数为100次
分别是 100- 199 。

现在有一个规律了，如果当前的数字的最高位数是十位，那么个位出现的次数就是这个数字有几个10 再 * 1。
也就是 40/10 = 4。 40有4 个10 组成。每一个 10 中各位上出现的1的次数为1。
所以40 各位上出现1 的次数为 4*1 = 4；
那么我们再来看十位，由于这个数字本身就是十位，所以当这个数字的十位 >=2时，那么当前位上出现1 的次数是10次。分别是10 - 19；
最后相加为 4+10所以出现1的次数位14次。

有一种特殊情况，也就是某一位数字为1的情况。
举个例子，15。
先判断个位上出现1的次数。
15 / 10 = 1；
15 由个10组成，所以个位上出现的次数为1 *1 = 1；

判断十位，
15由0个100组成，但是由于十位上还有数字，所以要对十位上的数字进行判断 十位上的数字恰好为1。那么我们想一下十位上出现1 的次数为几次呢？
10次? 不是，我们要根据它的下一位才可以判断。理论上出现的次数就应该为10次，分别为 10-19，但是我们发现它的下一位到不了9，只能到5，所以是 10-15，只出现6次。在加上11时下一位也出现了1，所以还要再加1。

所以15这个数字，1出现的次数为8次。

依据以上结论。我们就可以写出代码了

public int countDigitOne(long n) {
    //结果
    int sum = 0;
    //控制位数
    long count = 10;
    //为了求最高位，
    //举个例子213，求百位如果不是*10再会直接退出的，
    //因为求百位是除1000，所以为了囊括所有的结果，我们必须*10判断
    while(n*10/count!=0){
    //定义成long是为了防止数字过大而越界。
    	//获取有几个十 几个一百 几个一千等等
        long a = n/count;
        //位数上的数字
        long b = n%count;
        if(b>=(2*count/10)){
            b = (count/10);
        }else if(b>=(count/10)){
            b = n%(count/10)+1;
        }else{
            b = 0;
        }
        sum += a*count/10+b;
        count*=10;
    }
    return sum;
}