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题目：120. 三角形最小路径和
给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。
例如，给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。
前言
换个角度看triangle
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
方法一：自底向上
方法1：动态规划（DP）
思路分析
状态定义：
dp[i][j]表示包含第i行第j列元素的最小路径和
常规：
triangle[i][j]一定会到达triangle[i+1][j]或者triangle[i+1][j+1],
所以状态dp[i][j]一定等于dp[i+1][j]或者dp[i+1][j+1]的最小值+triangle[i][j]
转换方程：dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+triangle[i][j]
代码实现
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
// 加1可以不用专门初始化dp最后一行
// 根据题意，行列值相同
int[][] dp = new int[triangle.size() + 1][triangle.size() + 1];
for (int i = triangle.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}
return dp[0][0];
}
时间复杂度：O(n^2) （n 为三角形的总行数）
空间复杂度：O(n^2) （n 为三角形的总行数）
空间优化，将结果数组从二维降为一维
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
// dp中记录了求第i行时，第i+1的最小路径和
int[] dp = new int[triangle.size() + 1];
for (int i = triangle.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}
return dp[0];
}
时间复杂度：O(n^2) （n 为三角形的总行数）
空间复杂度：O(n) （n 为三角形的总行数）
空间优化二，不新创建一个放置结果的数据结构（二维或一维），直接使用参数三角形的矩阵，求得的结果直接覆盖原位置。
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
int temp = Math.min(triangle.get(i + 1).get(j), triangle.get(i + 1).get(j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
List<Integer> temp2 = triangle.get(i);
temp2.set(j, temp);
triangle.set(i, temp2);
}
}
return triangle.get(0).get(0);
}
方法2：递归（晚点补充）
方法二：自顶向下
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链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/solution/san-jiao-xing-zui-xiao-lu-jing-he-by-leetcode-solu/
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