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题目：120. 三角形最小路径和
给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。
例如，给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。
前言
换个角度看triangle
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
方法一：自底向上
方法1：动态规划（DP）
思路分析
状态定义：
dp[i][j]表示包含第i行第j列元素的最小路径和
dp最后一行 = triangle最后一行
常规：
triangle[i][j]一定会到达triangle[i+1][j]或者triangle[i+1][j+1],
所以状态dp[i][j]一定等于dp[i+1][j]或者dp[i+1][j+1]的最小值+triangle[i][j]
转换方程：dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+triangle[i][j]
代码实现
from typing import List
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
n = len ( triangle ) # 三角形行数 n=4
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range ( n + 1 )] # 生成一个（n+1）*（n+1）的零矩阵，用来存放当前路径长度
for i in range ( len ( triangle ) - 1, -1, -1 ): # 遍历三角形每一行
for j in range ( 0, i + 1, 1 ): # 遍历三角形每一列
dp[i][j] = min ( dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1] ) + triangle[i][j]
return dp[0][0]
print ( Solution ().minimumTotal ( [
[2],
[3, 4],
[6, 5, 7],
[4, 1, 8, 3]
] ) )
时间复杂度：O(n^2) （n 为三角形的总行数）
空间复杂度：O(n^2) （n 为三角形的总行数）
空间优化一：将存放结果的数据结构由矩阵变为一维数组
from typing import List
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
n = len ( triangle ) # 三角形行数
dp = [0] * (n + 1) # 生成一个n+1的零列表
for i in range ( len ( triangle ) - 1, -1, -1 ):
for j in range ( 0, i + 1, 1 ):
dp[j] = min ( dp[j], dp[j + 1] ) + triangle[i][j]
return dp[0]
print ( Solution ().minimumTotal ( [
[2],
[3, 4],
[6, 5, 7],
[4, 1, 8, 3]
] ) )
时间复杂度：O(n^2) （n 为三角形的总行数）
空间复杂度：O(n) （n 为三角形的总行数）
空间优化二：不新创建一个放置结果的矩阵，直接使用参数三角形的矩阵，求得的结果直接覆盖原位置。
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
for i in range ( len ( triangle ) - 2, -1, -1 ): # 遍历三角形每一行
for j in range ( 0, i + 1, 1 ): # 遍历三角形每一列
triangle[i][j] = min ( triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1] ) + triangle[i][j]
return triangle[0][0]
时间复杂度：O(n^2) （n 为三角形的总行数）
空间复杂度：O(1)
方法2：递归（晚点补充）
方法二：自顶向下
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链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/solution/san-jiao-xing-zui-xiao-lu-jing-he-by-leetcode-solu/
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