错排问题
n个有序的元素应有n!个不同的排列，如若一个排列使得所有的元素不在原来的位置上，则称这个排列为错排；有的叫重排。
错排公式
递推关系
为求其递推关系，分两步走：
第一步，考虑第n个元素，把它放在某一个位置，比如位置k，一共有n-1种放法；
第二步，考虑第k个元素，这时有两种情况：（1）把它放到位置n，那么对于除n以外的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，所以对剩下n-2个元素的错排即可，有F[n-2]种放法；（2）第k个元素不放到位置n，这时对于这n-1个元素的错排，有F[n-1]种放法。
根据乘法和加法法则，综上得到F[n]=(n-1)
( F[n-1]+F[n-2] )
再详细一点 转一篇大神的讲解
问题：现有10本书按照顺序摆放，现要求重新排列，使得新的书的顺序中每一本书都不在原来的位置，求有多少种排列方式？
这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题
OK，现在详细分析这个问题，我们要的最终结果就是书的编号与所在位置的编号不同，在这里，我们把n本书的错排操作数记为F(n)，那n-1本就是F(n-1)，n-2本就是F(n-2)啦，下面，我们把放置问题分为两步（初始位置号与书的编号相同）：
第一步：
我们取一本书，书的编号为m，现在这本书就在我们手中，注意，按照题目要求，最开始的时候这本书的位置号也是m号，按照题目要求，我们现在放书时不能放回这个位置m了，而是要选择其他位置，那么有多少种选择呢，想一下，总共有n本书，n个位置，现在我手里这本书不能把它放到位置m，那么剩下的n-1个位置我当然就是随便扔啦，也就是n-1种扔法，好，现在，我选择了位置k，我决定把手里这本书放到位置k这里，记住这个是位置编号k，那么，我肯定要把原来这里的编号为k的书拿出来，再把这本编号为n的书放进去喽。所以，现在我们手里的书的编号是k
第二步：
我们把手里这本编号为k的书本放到书架，注意，放的过程中我们又面临两种情况，可以想到，此时此刻现在书架上编号m的位置是空着的，所以我们可以选择放在这个位置上，书的编号为k，位置编号为m，没错，满足题意，这是第一种情况，还有一种就是我不选择这个空着的位置m，我再重新选择一个新的位置，我们称之为第二种情况，下面详细分析
第一种情况：我把这本编号为k的书放到这个编号为m的地址，那现在我们面前是什么状况呢，就是位置k和位置m的书交换位置，也就是位置号不等于书号，即满足错排，总共n个位置，我们只动了m和k这两个位置，那么剩下的n-2个位置还是纹丝不动，保持一一对应的关系呢，那么对于剩下的这n-2本书的错排操作，我们又回到了问题的起点，求n-2本的错排操作数F(n-2)，结合第一步，我们可以得到第一种情况总共有 (n-1) F(n-2) 种方法
第二种情况：我们不选择这个空着的位置m啦，我们手持这本编号为k的书，加上剩下的n-2本书一共有n-1本，直接对这n-1本书进行错排就好了，即 (n-1) F[n-1]
原答案第二种情况我认为有点废话，所以这里我进行了改动 这里给出我对第二种情况的思考 因为第一种情况是将编号为k的书放在m位上，所以第二种情况要求k不在m位上，但我一直搞不懂为什么对n-1个元素进行错排就能确定k不在m位上 其实这里是需要跳脱出来的 我们可以将m位视作k的位置，即k不能放在k上 那其实就是对包括编号k的n-1本书进行错排
暂时先这样理解吧- -我认为这是唯一能让我不再纠结下去的办法了
好的，现在我们总结两种情况，结果进行相加，就可以得到递推公式啦
递推公式为：F[n]=(n-1) ( F[n-1]+F[n-2] )
这里还有一种解释我觉得是比较易懂的，就写一下
借用HDU2049的题目：不容易系列之(4)——考新郎
首先考虑，如果开始有n-1个新郎，并且这n-1个人都已经完成了错排（有f(n-1)种可能），现在又来了一个人，那么后来的第n个人可以通过用自己的新娘去和那n-1个人中的任意一个交换，来实现n个人都错排。这种情况有 (n-1)
f[n-1] 种可能;
另外，如果开始的n-1个人不是都错排，那么要想使第n个人过来与其中一个交换后实现错排的话就必须满足两个条件：
1.那n-1个人中只有一个人选到了自己的新娘，也就是说有n-2个人都已经错排了。
2.第n个人必须和那个选到自己新娘的人去交换，但那个选到自己新娘的人可以是n-1个人中的任意一个。这种情况有 (n-1) f[n-2] 种可能。
其他情况都不能满足n个人错排。
因此递推关系：f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])。
如果实在有不会的那就先套公式吧- -别有强迫症 多刷刷题再回来看看 会简单很多