数学建模（3）插值算法

数学建模（3）插值算法

用途

数据较少的时候，用已有的数据来找到两个数据之间的值

一维的插值

分段插值

插值多项式

三角插值

插值的原理

$y=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

$只要有n+1个互不相同的节点

$如果不限制多项式的次数，多项式不唯一

$AX=Y$

A是参数矩阵（A是范德蒙行列式），X是自变量，Y是因变量

因为 $|A|=\prod^n_{i=1}\prod^{n-1}_{j=0}(x_i-_j)\neq 0$

所以方程有唯一解

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拉格朗日插值法

1、有两个点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$

$f(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1$

2、有三个点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$

$f(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\frac{x-x_2}{x_0-x_2}y_0 +\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\frac{x-x_2}{x_1-x_2}y_1 +\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}y_2$

3、推导普适结果

$\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$

$\omega'_{n+1}(x_k)=(x_k-x_0)(x_k-x_0)...(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})...(x_k-x_n)$

$L_n(x)=\sum^n_{k=0}y_k\frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_k)\omega'_{n+}(x_k)}$

龙格现象

插值多项式次数越高，误差不一定越小

回在两端产生明显的震荡，所以不要轻易使用高次数插值

分段三次埃尔米特插值

因为之前的方法不够好，所以这里采用分段插值

简单思路就是找最近的四个点构成一个三次函数

证明过程不会，用不到

matlab有函数

p = pchip(x,y,new_x)

直接插值就行，这个函数看一眼就知道怎么用了。

三次样条插值

(最为精准)

要求函数 $S(x)$满足：

1、 $S(x_i)=f(x_i)=y_i,\qquad i=0,1,2,...,n$

2、每个子区间上 $S(x)$是三次多项式

3、 $S(x)$二阶可微

p = spline(x,y,new_x)

n维数据的插值

p = interpn(x1,x2,...,xn,y,new_x1,,new_x2,...,,new_xn,method)