python数学建模（三）插值常用库和模块

（一）本文数据资料下载

python建模会持续更新，用途是只作为个人笔记。我博客中的所有资料都可通过我提供的链接永久获取，希望大家一起相互促进，相互努力。

本文所有代码、资料获取链接：
链接：https://pan.baidu.com/s/1ZGa_enCUxX7zvnUbxv_ICQ
提取码：p2bv

（二）简单介绍一下定义

插值：插值就是已知一组离散的数据点集，在集合内部某两个点之间预测函数值的方法。

拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。

详细了解可下载PPT：https://pan.baidu.com/s/149o1AzL3Iupf2MfXdbVO5Q
提取码：fq3o

（三）介绍我们可能用到的模块和代码(重点)

本章作用：为了能清晰的看懂本章的接下来的代码做铺垫。

3.1 scipy.interpolate 模块

scipy.interpolate 模块有一维插值函数(interp1d)、二位插值函数(interp2d)、多为插值函数(interpn、interpnd)。

内插法和外插法的区别：是处理方法不同、职责不同、工作内容不同，核心区别就是：内插法在样本数据的范围内预测，比外插法要准。用回归方程预测范围以外的数值称为外插法，而内插法是对数据范围内的点进行预测。

3.1.1 一维插值函数 （interp1d）

interp1d ：用于固定已知的数据点。（ interp1d 是内插法，不能用于外插值）。

interp1d(x, y, kind='linear', ...)

• x：已知的数据集的 x 值，为一维数组形式。
• y：已知数据集的 y 值，可以为多维数组形式（注意：y数组长度等于x数组长度。）
• kind：字符串或整数，可选项，指定使用的样条曲线的种类或插值方法。

候选值	作用
‘zero’ 、‘nearest’	阶梯插值，相当于0阶B样条曲线
‘slinear’ 、‘linear’	线性插值，用一条直线连接所有的取样点，相当于一阶B样条曲线
‘quadratic’、‘cubic’	二阶和三阶的线性插值，更高阶的曲线可以直接使用整数值指定

这里的‘zero’, ‘slinear’, ‘quadratic’, ‘cubic’ 分别表示零次、一次、二次、三次样条插值；

3.1.2 一维插值方法的比较

此程序转载于youcans博主的博客：插值方法

# mathmodel24_v1.py
# Demo24 of mathematical modLSing algorithm
# Demo of interpolate with Scipy.interpolate
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated：2021-08-01

#一维插值方法(内插)比较
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.interpolate import interp1d  # 导入 scipy 中的一维插值工具 interp1d

# 生成已知数据点集 (x,y)，需插值的数据点集 xnew
np.random.seed(5)
x = np.linspace(0, 5, 10)  # 生成已知数据点集的 x
y = np.cos(x/10)*2 + 0.5*np.random.rand(10)  # 生成已知数据点集的 y
xnew = np.linspace(0, 5, 100)  # 指定需插值的数据点集 xnew

# 使用不同插值方法，由给定数据点集 (x,y) 求插值函数 fx
f1 = interp1d(x, y, kind="linear")  # 线性插值
f2 = interp1d(x, y, kind="zero")  # 零阶样条插值
f3 = interp1d(x, y, kind="slinear")  # 一次样条插值
f4 = interp1d(x, y, kind="quadratic")  # 二次样条插值
f5 = interp1d(x, y, kind="cubic")  # 三次样条插值
f6 = interp1d(x, y, kind="nearest")  # 临近点插值，向下舍入
# f7 = interp1d(x, y, kind="nearest-up")  # 临近点插值，向上舍入
f8 = interp1d(x, y, kind="previous")  # 前点插值
f9 = interp1d(x, y, kind="next")  # 后点插值

# 绘图
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.suptitle("Data interpolate")  # 全局标题
plt.subplot(221)
plt.plot(x, y, "o",  label="data")  # 已知数据点
plt.plot(xnew, f2(xnew), label="0-order spline")  # 零阶样条插值
plt.plot(xnew, f3(xnew), label="1-order spline")  # 一阶样条插值
plt.legend(loc="lower left")
plt.subplot(222)
plt.plot(x, y, "o",  label="data")  # 已知数据点
plt.plot(xnew, f4(xnew), label="2-order spline")  # 二阶样条插值
plt.plot(xnew, f5(xnew), label="3-order spline")  # 三阶样条插值
plt.legend(loc="lower left")
plt.subplot(223)
plt.plot(x, y, "o",  label="data")  # 已知数据点
plt.plot(xnew, f1(xnew), label="linear")  # 线性插值
plt.plot(xnew, f6(xnew), label="nearest")  # 临近点插值，向下舍入
# plt.plot(xnew, f7(xnew), label="nearest-up")  # 临近点插值，向上舍入
plt.legend(loc="lower left")
plt.subplot(224)
plt.plot(x, y, "o",  label="data")  # 已知数据点
plt.plot(xnew, f8(xnew), label="previous")  # 前点插值
plt.plot(xnew, f9(xnew), label="next")  # 后点插值
plt.legend(loc="lower left")
plt.show()

3.1.2 二维插值类 （interp2d）

interp2d(x,y,z,kind='linear', ...)

• x,y：已知的数据集的 x,y 值，都为一维数组。
• z：已知数据集的 z 值，可以为多维数组形式（注意：y 数组长度等于x，y 数组长度。）
• kind：字符串或整数，可选项，指定使用的样条曲线的种类或插值方法。 kind具体用法与一维插值函数(interp1d)没区别。

3.1.3 多维插值 （griddate）

Scipy.interpolate 模块中的griddata()函数具有强大的处理多维散列取样点进行插值运算的能力。如（二维散乱点插值）

griddata(points, values, xi, method='linear', fill_value=nan)

• points表示K维空间中的坐标，它可以是形状为(N,k)的数组，也可以是一个有k个数组的序列，N为数据的点数。
• values是points中每个点对应的值。xi是需要进行插值运算的坐标，其形状为(M,k),可通过numpy.meshgrid(,)构造网格节点获得。
• method参数有三个选项：‘nearest’、 ‘linear’、 ‘cubic’，分别对应0阶、1阶以及3阶插值。

3.2 numpy中多项式拟合函数（polyfit）

polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)

• xarray_like：形状 （M，）
  M 样本点的 x 坐标。(x[i], y[i])

• yarray_like：形状（M）或（M，K）
  样本点的 y 坐标。通过通过包含每个列包含一个数据集的 2D 阵列，可以同时安装几个共享相同 x 坐标的示例点数据集。

• deg：拟合多面体的程度.deg = 2 ：指拟合二次多项式。

详细信息请查看 polyfit官网

3.3 scipy.optimize模块中的函数curve_fit

The scipy.optimize module contains a least squares curve fit routine that requires as input a user-defined fitting function (in our case fitFunc ), the x-axis data (in our case, t) and the y-axis data (in our case, noisy). The curve_fit routine returns an array of fit parameters, and a matrix of covariance data (the square root of the diagonal values are the 1-sigma uncertainties on the fit parameters—provided you have a reasonable fit in the first place.):

fitParams, fitCovariances = curve_fit(fitFunc, t, noisy)
print fitParams
print fitCovariance

调用curve_fit()函数，核心步骤：

1. 定义需要拟合的函数类型，如：

def func(x, a, b):
    return 数据的拟合函数
    #  如return  c*y**2

2. 调用popt, pcov = curve_fit(func, x, y) 函数进行拟合，并将拟合系数存储在popt中，a=popt[0]、b=popt[1]进行调用；

3. 调用func(x, a, b)函数，其中x表示横轴表，a、b表示对应的参数。

3.4 一些小模块代码解释

3.4.1 numpy.linsapce()

numpy.linspace(start, stop, num=50)

start:返回样本数据开始点
stop:返回样本数据结束点
start和stop之间返回均匀间隔的数据
num:生成的样本数据量，默认为50

numpy.linsapce() 详细参考np.linspace用法介绍

3.4.2 pyplot.subplot()

plt.subplot(231)  #把画布分成2*3的格子，把Y1放在第一格
plt。subplot(232)#把画布分成2*3的格子，把Y2放在第2格
plt.subplot(233)#把画布分成2*3的格子，把Y3放在第3格

例：在一行画两个图片
plt.subplot(121)
plt.subplot(122)

3.4.3 pyplot.contour()

contour()作用：绘制轮廓线，类于等高线 。

matplotlib.pyplot.contour([X, Y,] Z, [levels], ** kwargs)

• X，Y ：值Z的坐标。
• X和Y必须都是2-D，且形状与Z相同，或者它们必须都是1-d，这样len（X）== M是Z中的列数，len（Y）== N是Z中的行数。
• Z ： 绘制轮廓的高度值。
• levels： int或类数组，确定轮廓线/区域的数量和位置。

3.4.4 numpy.meshgrid(x, y)

作用：生成坐标矩阵

X,Y = numpy.meshgrid(x, y)

• 输入的x，y，就是网格点的横纵坐标列向量（非矩阵）
• 输出的X，Y，就是坐标矩阵。

3.4.5 np.linalg.norm()

作用：求相应的范数

x_norm=np.linalg.norm(x, ord=None)
# linalg=linear（线性）+algebra（代数），norm则表示范数。

• x: 表示矩阵（也可以是一维）
• ord：范数类型
  详细可查看np.linalg.norm(求范数)

3.4.6 pyplot.clabel()

plt.cable(c,inline = True, fontsize = 10)
作用：定义等高线的标签。

• C:要标记的ContourSet（需要添加标签的线）。
• inline表示标签添加的位置：

1. inline = True时，等高线在数字处会断开。
2. inline = False时，等高线线会穿过数字。

• fontsize:以磅为单位的尺寸或相对尺寸,代表标签大小，例如‘smaller’，“ x-large”。
• colors:标签颜色：

3. 如果为无，则每个标签的颜色与相应轮廓的颜色匹配。
4. 如果使用一种字符串颜色(例如，颜色= ‘r’或颜色= ‘red’)，则所有标签都将以此颜色绘制。
5. 如果是matplotlib颜色args(字符串，float，rgb等)的元组，则将按照指定的顺序以不同的颜色绘制不同的标签。

（四）求解插值问题

4.1 一维插值

题目：在一天内，从0点开始每间隔 2h 测得环境温度如下表所示。分别进行分段线性插值和三次样条插值，并画出插值曲线。

时间	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
温度	12	9	9	10	18	24	28	27	25	20	18	15	13

# coding=utf-8
# 一维插值.py
# Copyright 2021 源仔
# Crated：2021-08-06

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp1d

x = np.arange(0,25,2)
y = np.array([12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13])
xnew = np.linspace(0, 24, 500)  # 生成0到25之间均匀间隔的500个插值点
f1 = interp1d(x,y);             y1 = f1(xnew)
f2 = interp1d(x,y,'cubic') ;    y2 = f2(xnew)

plt.rc('font',size=16); plt.rc('font',family='SimHei')

plt.subplot(121); plt.plot(xnew,y1) ; plt.xlabel("(A)分线段插值")
plt.subplot(122); plt.plot(xnew,y2) ; plt.xlabel("(B)三次样条插值")

plt.savefig("一维插值")
plt.show()

4.2 二维网格节点插值

已知ing面区域 0 $\le$ x $\le$ 1400, 0 $\le$ y $\le$ 1200 的高程数据如下表所示（单位：m）。求该区域地表面积的近似值，并用插值数据画出该区域的登高线图和三位表面图。

解： 原始数据给出 100 $\times$ 100 网格节点的高程数据，为提高计算精度，利用双三次样条插值，得到给定区域 10 $\times$ 10 网格节点上得搞成数据。
利用分点 $x_i$=10i (i=0,1,···,140)把 0 $\le$ x $\le$ 1400 剖分成 140 个小区间，利用分点 $y_i$ = 10j(j = 0,1,···,120)把 0 $\le$ y $\le$ 1200 剖分成 120 个小区间，把平面区域 0 $\le$ x $\le$ 1400，0 $\le$ y $\le$ 1200 剖分成140 $\times$ 120个小曲面进行计算，每个小区面的面积用对应的三位空间中 4 个点所构成的两个小三角形面积的和作为近似值。计算三角形面积时，使用海伦公式，即设 $\Delta$ABC 的边长为 a，b，c，p = (a+b+c)/2,则 $\Delta$ABC的面积 s = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

from matplotlib.font_manager import FontProperties
from scipy.interpolate import interp2d
from mpl_toolkits import mplot3d
import matplotlib.pyplot as plt
import  matplotlib.pyplot as pt
from numpy.linalg import norm
import pandas as pd
import numpy as np

font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)

z = pd.read_excel("数据表.xlsx",header=None)
x = np.arange(0,1500,100)
y = np.arange(1200,-100,-100)

f = interp2d(x,y,z,'cubic')
xn = np.linspace(0,1400,141)
yn = np.linspace(0,1200,121)
zn = f(xn,yn)
m = len(xn); n = len(yn); s = 0;
for i in np.arange(m-1):
    for j in np.arange(n-1):
        ##  p1,p2,p3,p4表示被解剖的小矩形的四个顶点
        p1 = np.array([xn[i], yn[j], zn[j, i]])
        p2 = np.array([xn[i+1], yn[j], zn[j, i+1]])
        p3 = np.array([xn[i+1], yn[j+1], zn[j+1, i+1]])
        p4 = np.array([xn[i], yn[j+1], zn[j+1, i]])
        ## norm表示范数，令 p1 = [2,3,4],p2 = [3,4,5],所以 p3 =  p1-p2 = [1,1,1]，则norm(p3)=1.73(根号3)
        ## 这里p12,p23,p13,p14,p34表示矩阵的边长和对角线长度
        p12 = norm(p1-p2); p23 = norm(p3-p2); p13 = norm(p3-p1)
        p14 = norm(p4-p1); p34 = norm(p4-p3)
        ## 这里用用的是 海伦公式 ，s1,s2表示小曲面矩形分成的两个小三角形面积
        l1 = (p12+p23+p13)/2 ; s1 = np.sqrt(l1*(l1-p12)*(l1-p23)*(l1-p13))
        l2 = (p13+p14+p34)/2 ; s2 = np.sqrt(l2*(l2-p13)*(l2-p14)*(l2-p34))
        s = s + s1 + s2
print("区域面积为：",s)

# 图一
plt.subplot(121);  contr = plt.contour(xn,yn,zn) ; plt.clabel(contr)
             ## plt.contour() 用于绘制等高线 ;plt.clabel(contr) :表示在等高线上显示高度
plt.xlabel('x', fontproperties=font) ;plt.ylabel("y", fontproperties=font,rotation=90)
# 图二
ax = plt.subplot(122,projection = '3d')
X,Y = np.meshgrid(xn,yn)
ax.plot_surface(X,Y,zn,cmap='viridis')
ax.set_xlabel('x', fontproperties=font); ax.set_ylabel('y', fontproperties=font,rotation=90); ax.set_zlabel('z', fontproperties=font)

plt.savefig('二维网格节点插值')

plt.show()

4.3 二维散乱点插值

问题 ：在某海域测得一些点（x，y）处的水深 z 由下表给出，画出深海地区的地形和等高线。

x	129	140	103.5	88	185.5	195	105	157.5	107.5	77	81	162	162	117.5
y	7.5	141.5	23	147	22.5	137.5	8525	-6.5	-81	3	56.5	-66.5	84	-33.5
z	4	8	6	8	6	8	8	9	9	8	8	9	4	9

from scipy.interpolate import  griddata
from mpl_toolkits import  mplot3d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.array([129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5])
y = np.array([7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5])
z = -np.array([4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9])
xy = np.vstack([x,y]).T
xn = np.linspace(x.min(),x.max(),100)
yn = np.linspace(y.min(),y.max(),100)
# 构造网格节点
xng,yng = np.meshgrid(xn,yn)
# 最近邻点插值
zn = griddata(xy,z,(xng,yng),method='nearest')

#设置图形的大小
plt.figure(figsize=(20,8),dpi=80)

ax = plt.subplot(121,projection='3d')
ax.plot_surface(xng,yng,zn,cmap='viridis')
ax.set_xlabel('x'); ax.set_ylabel('y'); ax.set_zlabel('z')
plt.subplot(122); c = plt.contour(xn,yn,zn,8); plt.clabel(c)
plt.savefig("二维散乱点插值.png")
plt.show()