公式
①：等比数列求和
∑ k = 1 n x k = x − x n + 1 1 − x \sum_{k=1}^nx^k=\frac{x -x^{n+1}}{1-x} k=1∑nxk=1−xx−xn+1
令 S n = ∑ k = 1 n x k S_n=\sum_{k=1}^nx^k Sn=∑k=1nxk
x × S n = x ∑ k = 1 n x k = ∑ k = 2 n + 1 x k x\times S_n=x\sum_{k=1}^nx^k=\sum_{k=2}^{n+1}x^{k} x×Sn=xk=1∑nxk=k=2∑n+1xk
两式相减即可
S n − x × S n = x 1 − x n + 1 S_n-x\times S_n=x^1-x^{n+1} Sn−x×Sn=x1−xn+1 S n = x − x n + 1 1 − x S_n=\frac{x-x^{n+1}}{1-x} Sn=1−xx−xn+1
结论
①： n & 1 = 1 ⇒ 3 ∣ ( 2 n − 2 ) n\&1=1\Rightarrow 3|(2^n-2) n&1=1⇒3∣(2n−2)
如果 n n n为奇数，有 2 n − 2 2^n-2 2n−2则为 3 3 3的倍数
将减法转化为加法，如果 2 n + 1 = 3 k 2^n+1=3k 2n+1=3k成立，那么结论成立，现在来证明“如果”
分享两种方法
法1
设 n = 2 m + 1 n=2m+1 n=2m+1
2 n + 1 = 2 2 m + 1 + 1 = ( 2 2 m + 1 − 2 2 m − 1 ) + ( 2 2 m − 1 − 2 2 m − 3 ) + . . . + ( 2 3 − 2 1 ) + ( 2 − 1 ) 2^n+1=2^{2m+1}+1=(2^{2m+1}-2^{2m-1})+(2^{2m-1}-2^{2m-3})+...+(2^3-2^1)+(2-1) 2n+1=22m+1+1=(22m+1−22m−1)+(22m−1−22m−3)+...+(23−21)+(2−1)
每个括号里面的数都是 3 3 3的倍数，得证
- 简单举例第一个括号
2 2 m + 1 − 2 2 m − 1 = 2 2 m − 1 ∗ ( 2 2 − 1 ) = 2 2 m − 1 ∗ 3 2^{2m+1}-2^{2m-1}=2^{2m-1}*(2^2-1)=2^{2m-1}*3 22m+1−22m−1=22m−1∗(22−1)=22m−1∗3
法2：数学归纳法
当 n = 1 n=1 n=1时，有 2 n + 1 = 3 2^n+1=3 2n+1=3，满足条件
当 n = k n=k n=k时， k k k为奇，假设有 2 k + 1 = 3 t 2^k+1=3t 2k+1=3t
当 n = k + 2 n=k+2 n=k+2时，则有 2 n + 1 = 2 k + 2 + 1 = 4 ∗ 2 k + 1 = 4 ∗ ( 3 t − 1 ) + 1 = 12 t − 3 = 3 ∗ ( 4 t − 1 ) 2^n+1=2^{k+2}+1=4*2^k+1=4*(3t-1)+1=12t-3=3*(4t-1) 2n+1=2k+2+1=4∗2k+1=4∗(3t−1)+1=12t−3=3∗(4t−1)，证毕