DP:最长公共子序列

POJ 1458 最长公共子序列

Description

给出两个字符串，求出这样的一个最长的公共子序列的长度：子序列中的每个字符都能在两个原串中找到，而且每个字符的先后顺序和原串中的先后顺序一致。

Sample Input

abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp

Sample Output

4
2
0

AC代码

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
string s1, s2;
int maxLen[1000][1000];

int main()
{
    
    
	while( cin >> s1 >> s2 )
	{
    
    
		for( int i = 1;i <= s1.length();i++ ) 
			for( int j = 1;j <= s2.length();j++ ) 
			if( s1[i-1] == s2[j-1] )
 				maxLen[i][j] = maxLen[i-1][j-1] + 1;
			else 
				maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j-1], maxLen[i-1][j]);
		
		cout << maxLen[s1.length()][s2.length()] << endl;
	}
	return 0;
}

该算法时间复杂度为 $o(mn)$

算法解析

maxLen(i,j)表示:
s1的左边 i 个字符形成的子串，与s2左边的 j 个字符形成的子串的最长公共子序列的长度(i, j从0开始算）
本题要求：maxLen[s1.length()][s2.length()]
当$S1[i-1]!=S2[j-1]$时，maxLen(S1,S2)不会比maxLen($S1,S{2}_j{-}_1$)和maxLen($S{1}_i{-}_{1}S2$)两者之中任何一个小，也不会比两者都大。

证明1：maxLen(S1,S2)不会比两者之中任何一个小
S1，S2长度分别大于$S{1}_i{-}_1,S{2}_j{-}_1$ ,子序列必然更长
证明2：maxLen(S1,S2)不会比两者都大
如果maxLen(S1,S2)比maxLen($S{1}_i{-}_{1}S2$)大，说明S1[i-1]是公共最长序列里的最后一个字符
如果maxLen(S1,S2)比maxLen($S1,S{2}_j{-}_1$)大，说明S2[j-1]也是公共最长序列里的最后一个字符
maxLen(S1,S2)若比两者都大，则$S1[i-1]=S2[j-1]$，与假设矛盾