线性dp:最长公共子序列

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/899/
题意：给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。
数据范围
1≤N≤1000,
输入样例：
4 5
acbd
abedc
输出样例：
3
思路：

• 状态表示：1，集合：f[i,j]表示a[]前i个字母和b[]前j个字母所包含的公共子序列。2，这些子序列的Max。
• 状态计算：无非a[i]有效或无效以及b[i]有效或无效所对应的四种情况，即：(1) a[i]与b[j]都有效计入，f[i , j] = f[i - 1, j - 1] + 1 ; ( 2) a[i]绝对无效而b[j]可能有效 f[i , j] = f[i - 1, j] ; (3） a[i]可能有效而b[j]绝对无效 f[i , j] = f[i , j - 1] (4） a[i]与b[j] 都无效 f[i , j] = f[i - 1, j - 1].（其实情况（4）已近被（2）和（3）覆盖了，在代码种就可以不用再单独处理了） (虽然这四种情况可能会出现重叠的现象，但其实并不影响我们求最大值，就像Max = max( max( a , b ) , max( b , c ) ) 最终得到的还是三个数的最大值；这就是这道题最难思考和理解的地方了。)
  代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1010;
int n, m;
char a[MAXN],b[MAXN];
int f[MAXN][MAXN];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n, &m);
    scanf("%s%s",a+1, b+1);//为了防止f[i-1][j-1]越界，所有得从1的位置开始存
    for(int i =1; i <= n; i ++ ){
        for(int j =1 ;j <= m; j ++ ){
            f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i][j - 1]);
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}