【ACWing】1127. 香甜的黄油

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1129/

农夫John发现了做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：糖。把糖放在一片牧场上，他知道$N$只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。当然，他将付出额外的费用在奶牛上。农夫John很狡猾，就像以前的巴甫洛夫，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。农夫John知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那）。数据保证至少存在一个牧场和所有牛所在的牧场连通。

输入格式：
第一行：三个数：奶牛数$N$，牧场数$P$，牧场间道路数$C$。第二行到第$N+1$行：$1$到$N$头奶牛所在的牧场号。第$N+2$行到第$N+C+1$行：每行有三个数：相连的牧场$A$、$B$，两牧场间距$D$，当然，连接是双向的。

输出格式：
共一行，输出奶牛必须行走的最小的距离和。

数据范围：
$1\le N\le 500$
$2\le P\le 800$
$1\le C\le 1450$
$1\le D\le 255$

其实就是枚举每个牧场，然后求一下所有奶牛到该牧场的最短路距离之和，看哪个牧场可以使得这个距离之和最小。如果用Floyd的话，总复杂度是$O(N{P}^3)$，太大了，而用SPFA虽然最坏的话是$O(NPC)$，但是一般是$O(NC)$，所以用SPFA即可（当然用堆优化Dijkstra算法更稳一些），参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113821633。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;

const int N = 810, M = 3000, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, p, m;
// id[0]记录1号牛所在牧场的编号
int id[N];
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int dist[N], q[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) {
    
    
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa(int u) {
    
    
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[u] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(u);
    while (q.size()) {
    
    
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
    
    
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
    
    
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) {
    
    
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        int j = id[i];
        // 如果其中一个牧场到不了，则直接返回INF
        if (dist[j] == INF) return INF;
        
        res += dist[j];
    }

    return res;
}

int main() {
    
    
    cin >> n >> p >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> id[i];

    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
    
    
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }

    int res = INF;
    for (int i = 1; i <= p; i++) res = min(res, spfa(i));

    cout << res << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(nm)$（但实际要比这个快很多），空间$O(n+m)$。