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https://www.acwing.com/problem/content/1186/

给定一张图，请你找出欧拉回路，即在图中找一个环使得每条边都在环上出现恰好一次。

输入格式：
第一行包含一个整数 $t$ ， $t∈\{1,2\}$ ，如果 $t = 1$ ，表示所给图为无向图，如果 $t = 2$ ，表示所给图为有向图。第二行包含两个整数 $n, m$ ，表示图的结点数和边数。接下来 $m$ 行中，第 $i$ 行两个整数 $v_i,u_i$ ，表示第 $i$ 条边（从 $1$ 开始编号）。如果 $t = 1$ 则表示 $v_i$ 到 $u_i$ 有一条无向边。如果 $t = 2$ 则表示 $v_i$ 到 $u_i$ 有一条有向边。图中可能有重边也可能有自环。点的编号从 $1$ 到 $n$ 。

输出格式：
如果无法一笔画出欧拉回路，则输出一行：NO。否则，输出一行：YES，接下来一行输出任意一组合法方案即可。如果 $t = 1$ ，输出 $m$ 个整数 $p_1,p_2,…,p_m$ 。令 $e=|p_i|$ ，那么 $e$ 表示经过的第 $i$ 条边的编号。如果 $p_i$ 为正数表示从 $v_e$ 走到 $u_e$ ，否则表示从 $u_e$ 走到 $v_e$ 。如果 $t = 2$ ，输出 $m$ 个整数 $p_1,p_2,…,p_m$ 。其中 $p_i$ 表示经过的第 $i$ 条边的编号。

数据范围：
$1≤n≤10^5$
$0≤m≤2×10^5$

一个无向图含欧拉回路，当且仅当其边连通并且每个顶点的度是偶数。证明如下：
必要性：如果存在欧拉回路，则取该回路，其经过的所有顶点必然是有入边必有出边（除了出发点，对于出发点是有出必有入），所以该路径上的所有点的度是偶数。而孤立点的度是 $0$ ，也是偶数，所以得证。
充分性：如果每个顶点的度都是偶数，那么从任一点出发，先走出一个回路，这样的回路一定是能走出来的，因为每次到一个顶点的时候，有入必有出，除非走回出发点，否则就能一直走下去，直到走到出发点为止。如果该回路已经包含了所有边了，那就找到了一条欧拉回路了；否则，从原图中删去该欧拉回路以及所有的孤立顶点，所得子图依然是所有点都是度为偶数的子图，并且它与欧拉回路一定存在公共顶点 $u$ ，从 $u$ 再重复上述过程（这里也可以类似数学归纳法来做，按归纳假设，求出从 $u$ 出发的欧拉回路），然后将这个回路拼到原回路上去即可。

而对于一个有向图是否含欧拉回路，也有个充要条件，即其边连通，并且每个点的入度等于出度。证明类似无向图的情形。

无论其是有向图还是无向图，算法都是一样的。

首先考虑建图，我们依然是用链式前向星（即邻接表）来建图，对于无向图，由于某条边有可能是走正向，也有可能是走负向，这无法确定，所以我们要建立双向边，但是标记访问过的时候，需要在正向走过的时候同时再标记一下负向也走过了（反之亦然）。由于每次建立一条边的时候，我们都会同时建立其反向边，正向边在数组中的下标是偶数，反向边在数组中的下标是奇数（即一条正向反向边的下标分别是 $(0, 1), (2, 3), . . .$ 这样，正向边都是偶数，反向边都是奇数），有必要梳理出某条边在数组中的编号、该边本身的编号以及其反向边的编号之间的关系。如果在输入里，某条边的编号是 $k$ （从 $0$ 计数。注意在题目里是从 $1$ 计数的，所以最后还要加上 $1$ ），那么其本身在数组中的编号就是 $2 k$ ，而其反向边的编号是 $2 k + 1$ ；而如果知道了一条边在数组中的下标，那么其对应的反向边的编号取决于其自己是奇数还是偶数，如果是偶数则减 $1$ ，否则是加 $1$ ，在代码里可以用异或来做，具体来说就是 $2k\wedge 1=2k+1,(2k+1)\wedge 1=2k$ 。

其次考虑算法，这可以用DFS后序遍历来做。之所以不用前序遍历，是因为在搜索的顺序的边与边之间不一定是邻接的，搜索出来的路径也不是一条连通的路径。而后序遍历则不然，如果确实存在欧拉路径，在分叉处的一条路回溯到分叉点的时候，如果该分叉处的所有树枝都被遍历过了，那么回溯的路径就是一条完整连续的路径，其本身就是一条欧拉路；如果还有树枝没遍历，则会按照该路继续DFS，而这次DFS一定还会回到分叉点，所以回溯的时候刚好会形成一个连通的路径，并且会把所有边都含到路径里去。即后序遍历，既不遗漏，又产生了连通的路径，完美解决了问题。

对于本题，可以先去找一个非孤立点，如果找不到的话则看边数是否是 $0$ ，如果是 $0$ 那确实是欧拉图（说明该图的所有点都是孤立点），否则的话，就从其中任意一个非孤立点开始做DFS，遍历过的边不再遍历，同时在回溯之前将当前边加入答案。这里有一个细节可以优化，如果我们只是对遍历过的边，用个bool数组进行标记的话，那么事实上仍然会遍历这一串指针，这也是会消耗很多时间的。所以，我们可以将遍历过的边直接删掉。但是由于我们的存储方式，对于正在遍历的那条边的反向边而言，即使知道它在数组中的下标，仍然不方便删，原因是我们是按照单链表的方式存的，要删就要从起点一步步向后找。所以我们采取的方案是，对于顶点 $v$ ，从 $h [v]$ 开始遍历其所有邻边的时候，如果是有向图，那非常简单，遍历完这条边立刻删掉即可；而对于无向图，则要先用一个bool数组标记其反向边为访问过，下次遍历这条反向边的时候由于已经标记过，那时再将其删去。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

// 要建反向边，所以边数要开两倍
const int N = 100100, M = 400100;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int res[M], cnt;
// 记录某条边是否被访问过（主要是应付无向图的反向边）
bool used[M];
// din[i]和dout[i]分别记录顶点i的入度和出度
int din[N], dout[N];
int n, m;
// 记录图的类型，1表示无向图，2表示有向图
int type;

void add(int a, int b) {
    
    
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// 从顶点u开始DFS
void dfs(int u) {
    
    
	// 如果顶点u还有边可以遍历，则进入循环
    while (h[u] != -1) {
    
    
        // 如果这条边用过了，删除这条边。这条边事实上就是之前遍历的某条边的反向边
        if (used[h[u]]) {
    
    
            h[u] = ne[h[u]];
            continue;
        }

        // 标记这条边已使用。其实这句话可以省去不写，后面的代码可以看出这个循环结束后这条边就已经被删了
        // used[h[u]] = true;
        
        // 如果是无向图，那么这条边的反向边也要标记使用过了
        if (type == 1) used[h[u] ^ 1] = true;

		// 求一下当前遍历的这条边的编号
        int t;
        if (type == 1) {
    
    
        	// 题目里边是从1开始计数的，所以后面要 + 1
            t = h[u] / 2 + 1;
            // (0, 1) (2, 3) (4, 5)奇数编号是返回的边
            if (h[u] & 1) t = -t;
        } else t = h[u] + 1;
		
		// 删掉当前的边，并继续DFS
        int j = e[h[u]];
        h[u] = ne[h[u]];
        dfs(j);
        // 回溯之前存一下路径
        res[cnt++] = t;
    }
}

int main() {
    
    
    scanf("%d%d%d", &type, &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
    
    
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        // 无向图，还要存一下反向边
        if (type == 1) add(b, a);
        din[b]++, dout[a]++;   
    }

    if (type == 1) {
    
    
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (din[i] + dout[i] & 1) {
    
    
                //无向图含欧拉回路的充要条件是每个点的度都为偶数
                cout << "NO" << endl;
                return 0;
            }
    } else {
    
    
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (din[i] != dout[i]) {
    
    
                //有向图含欧拉回路的充要条件是每个点的入度等于出度
                cout << "NO" << endl;
                return 0;
            }
    }

	// 找到一个有邻边的点开始DFS
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (~h[i]) {
    
    
            dfs(i);
            break;
        }

	// 如果一次DFS未遍历完所有的边，说明不边连通，不存在欧拉回路，输出NO
    if (cnt < m) cout << "NO" << endl;
    else {
    
    
        cout << "YES" << endl;
        // 逆序输出DFS回溯的路径
        for (int i = cnt - 1; i >= 0; i--)
            cout << res[i] << " ";
    }

    return 0;
}

时间复杂度 $O (m)$ ，空间 $O (n + m)$ 。

【ACWing】1184. 欧拉回路

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