A
Description
给定一个包含 n n n 个点， m m m 条边的有向图。
你需要规划出一条经过每条边恰好一次的欧拉回路。
1 ≤ n , m ≤ 1 0 6 1 \le n,m \le 10^6 1≤n,m≤106
Solution
令 d e g u deg_u degu 表示节点 u u u 的度数。
首先，有解当且仅当 ∀ i ∈ [ 1 , n ] \forall i \in [1,n] ∀i∈[1,n] 满足 d e g i deg_i degi 为偶数，且整个图形成了一个大连通块。
接着，我们考虑构造出一组合法解。
考虑执行下面的流程：
- 先将 1 1 1 压入队列。
- 每次取出队顶，令队顶节点为 u u u。
- 找到 u u u 第一条往外的未被经过的边 u → v u \to v u→v，将 v v v 压入队尾；同时，我们也要将 h e a d u head_u headu 修改为 u → v u \to v u→v 的下一条边以保证复杂度正确（可以理解为 Dinic 中的 ⌈ \lceil ⌈ 当前弧优化 ⌋ \rfloor ⌋）。
- 若这样的边找不到，则 u u u 已无法往外扩展；于是弹出队顶，并将 u u u 压入存放答案的序列中。
时间复杂度 O ( m + n ) O(m+n) O(m+n)。
B
Description
给定一个包含 n n n 个点， m m m 条边的有向图。
你需要规划出一条经过每条边恰好一次的欧拉道路。
Solution
令 d e g u deg_u degu 表示节点 u u u 的度数。
首先，有解当且仅当 c n t = ∑ i = 1 n [ d e g i mod 2 = 1 ] ≤ 2 cnt=\sum_{i=1}^n [deg_i \ \text{mod} \ 2=1] \le 2 cnt=∑i=1n[degi mod 2=1]≤2，且整个图形成了一个大连通块。
考虑将 B 转化为 A。
- 若 c n t = 0 cnt=0 cnt=0，直接套用 A 的算法即可，毕竟一条欧拉回路也是一条欧拉道路。
- 若 c n t = 2 cnt=2 cnt=2，则我们将两个度数为奇数的点 u , v u,v u,v 连起来，构造出一条欧拉回路；最后，我们将边 ( u , v ) (u,v) (u,v) 删去，断环为链，得到了一条欧拉道路。
更进一步的，若 c n t = 4 , 6 , ⋯ cnt=4,6,\cdots cnt=4,6,⋯，我们均可以类比上述做法——将度数为奇数的点两两配对，构造出一条欧拉回路，然后将我们自己添加进去的边一一删去，将环断为若干条链，从而构造出了一组边集的最小链覆盖。
时间复杂度 O ( n + m ) O(n+m) O(n+m)。