一，双信封悖论
2021年11月，Matrix67的个人网站终于又开了，我从大学到工作，陆陆续续的看了他很多博客，实在是大牛的博客太高深，读起来太需要时间。
（1）在他的http://www.matrix67.com/blog/archives/191一文中有这么一个问题：
箱子里有两个信封：“一个信封里有1元钱，另一个有10元”有1/2的概率；“一个信封里有10元钱，另一个有100元”有1/4的概率；“一个信封里有100元钱，另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里有10^(n-1)元钱，另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封，看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。
很明显，另外一个信封的收益远高于x，如果按照条件概率来算，另外一个信封的期望是3.4x，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？
（2）在评论中，我找到了这个问题的简化版，即双信封悖论：
给你两个装钱的信封，其中一只信封中的钱是另一只的两倍，选择一个信封，打开，此时，你可以选择拿走手上信封里的钱，或者拿走另一个信封，问你换不换。
很明显，2个问题的本质是一样的，而且双信封悖论不需要考虑条件概率，一个是x，另外一个就有50%的概率是2x，有50%的概率是x/2，结论仍然是换一个信封期望更高。
（3）我又看到一些评论，提到，在打开第一个信封之前，期望是无穷大。
于是我想出一个更简单的版本：
给你两个装钱的信封，两个里面的钱都是大于0的随机数，选择一个信封，打开，此时，你可以选择拿走手上信封里的钱，或者拿走另一个信封，问你换不换。
无论选哪一个，另外一个的期望都是无穷大，所以肯定要换。这个版本其实和前2个的本质也是一样的，但是似乎并不反常识了。
（4）上面的例子似乎更让人确信，总期望是无穷大是个关键。
那么我们把Matrix67的问题做个简单的泛化：
箱子里有两个信封：“一个信封里有1元钱，另一个有k(k是大于1的实数)元”有1/2的概率；“一个信封里有k元钱，另一个有k^2元”有1/4的概率；“一个信封里有k^2元钱，另一个有k^3元”有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里有k^(n-1)元钱，另一个信封里有k^n元钱。现在你拿到一个信封，看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。
此时，另外一个信封的期望是x/3 * (k+2/k)，所以换的条件是k+2/k >=3，即k>=2
而在打开第一封之前，总期望是(1+k)/2 + (k+k^2)/4 + ......，它等于无穷大的条件也是k>=2