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前言

AVLtree是一个“加上了额外平衡条件”的二叉搜索树。其平衡条件的建立是为了确保整棵树的深度为O（logN)。直观上的最佳平衡条件是每个节点的左右子树有着相同的高度，但这未免太过严苛，我们很难插入新元素而又保持这样的平衡条件。AVLtree于是退而求其次，要求任何节点的左右子树高度相差最多1。这是一个较弱的条件，但仍能够保证“对数深度”平衡状态。

1.AVL树——高度平衡二叉搜索树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能 保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1 (需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

平衡因子：右子树高度-左子树高度

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在

O(log n)，搜索时间复杂度O(log n)。

1.2 AVL树节点的定义——三叉链

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K,V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr),
		_right (nullptr),
		_parent (nullptr),
		_kv (kv),
		_bf (0)
	{}
};

2.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

插入影响他的祖先（父路径），左子树高度变了，parent->_bf--；右子树高度变了，parent->_bf++

插入操作前面同二叉搜索树，多了个cur->_parent指向parent操作。

再控制平衡：更新平衡因子。

更新平衡因子的规则：

1.新增在右，parent->_bf++；新增在左，parent->_bf--

2.更新后，parent->_bf == 1 or -1 ，说明parent插入前的平衡因子是0，说明左右子树高度相等，现在插入后有一边高，parent高度变了，需要继续往上更新

3. 更新后，parent->_bf == 0 ，说明parent插入前的平衡因子是1 or -1，说明左右子树一边高一边低，现在插入后两边一样高，插入填上了矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新

4. 更新后，parent->_bf == 2 or -2 ，说明parent插入前的平衡因子是1 or -1，已经平衡临界值了，插入后变成2 or -2，打破平衡，parent所在子树需要旋转处理。

下面举几个例子（都是不带旋转的）：最坏情况到根节点（即parent==nullptr)

代码实现：

        //控制平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}
			//插入后为0，说明插入前为1/-1，说明高度不一致，但是插入必定向矮的那端插入，插入后高度一致
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			//插入后为1/-1，说明插入前为0，说明高度一致，现在高度改变，向上更新
			else if (abs(parent->_bf) == 1)
			{
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			//插入后为2，打破平衡，需要旋转处理
			else if (abs(parent->_bf == 2))
			{
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
	}

2.1 AVL树的旋转

AVL tree平衡条件：任何节点的左右子树高度最多相差1

当更新后parnt->_bf==2或者-2时，打破平衡临界值，此时需要进行旋转操作。

旋转原则：

a.旋转成平衡树 b.保持搜索树规则

旋转情况分为4种：

1.左单旋

2.右单旋

3.左右双旋

4.右左双旋

其中（1，2）彼此对称，称为外侧(outside)插入。（3，4）彼此对称，称为内测（inside）插入。

2.1.1 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

抽象图：

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到60的右子树中(注意：此处不是右孩子)，60右子树增加了一层，导致以30为根的二叉树不平衡，要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层，左子树增加一层，

即将右子树往上提，这样 30 转下来，因为 30比6 0小，只能将其放在6 0 的左子树，而如果6 0 有左子树，左子树根的值一定大于30 ，小于 60 ，只能将其放在 30 的右子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 60 节点的左孩子可能存在，也可能不存在

2. 30 可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

具像图：

代码实现：

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		//根左旋，压下去，连接subRL
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		//记录下parent的父节点
		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		//如果根结点是父节点
		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}
		subR->_bf = parent->_bf = 0;

	}

2.1.2 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋（逻辑同左单旋）

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30 节点的右孩子可能存在，也可能不存在

2. 60 可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

例子：

在外侧插入状态中，k2“插入前平衡，插入后不平衡”的唯一情况如图左侧所示。A子树成长了一层，致使它比C子树的深度多2。B子树不可能和A子树位于同一层，否则k2在插入前就处于不平衡状态了。B子树也不可能和C子树位于同一层，否则第一个违反平衡条件的将是k1而不是k2。

为了调整平衡状态，我们希望将A子树提高一层，并将C子树下降一层——这已经比AVL-tree所要求的平衡条件更进一步了。如图右侧是调整后的情况。我们可以这么想象，把k1向上提起，使k2自然下滑，并将B子树挂到k2的左侧。这么做是因为，二叉搜索树的规则使我们知道,k2>k1，所以k2必须成为新树形中的k1右子节点。二叉搜索树的规则也告诉我们，B子树的所有节点的键值都在k1和k2之间，所以新树形中的B子树必须落在k2的左侧。

代码实现：

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_right;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		
		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

2.1.3 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新（平衡因子不固定，因为可能是在b插入，也可能是在c插入,也可能是h=0，在30的右插入）。旋转前60的平衡因子是判断依据，记录下来判断情况。

具像图：

代码实现：

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

2.1.4 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

        当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋

        当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

        当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋

        当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

旋转的价值和意义：

1.平衡

2.降高度（恢复到插入前的样子）

高度平衡二叉搜索树（AVL树）

前言

1.AVL树——高度平衡二叉搜索树

1.1 AVL树的概念

1.2 AVL树节点的定义——三叉链

2.AVL树的插入

2.1 AVL树的旋转

2.1.1 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

2.1.2 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋（逻辑同左单旋）

2.1.3 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

2.1.4 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

总结：

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