数理统计一（概率论）

一，课题导入：

二，统计学与概率论的关系
概率论是统计推断的基础，在给定数据生成过程下观测、研究数据的性质； 而统计推断则根据观测的数据，反向思考其数据生成过程。预测、分类、聚类、 估计等，都是统计推断的特殊形式，强调对于数据生成过程的研究。 统计学冲锋在应用第一线，概率论提供武器

三，统计学与机器学习的关系
1、统计学习近似等于机器学习。因 为机器学习中的大多数方法来自统计学比如： 聚类、贝叶斯等等，统计学的发展促进机器学习的繁荣昌盛；当然机器学习还有 很多其他的方法，如神经网络（更小范围）、SVM。
2、区别在于：统计学习者重点关注的是统计模型的发展与优化，偏数学，而机 器学习者更关注的是能够解决问题，偏实践，因此机器学习研究者会重点研究学 习算法在计算机上执行的效率与准确性的提升。

四，统计学的分类
1、统计可以分为：描述统计学与推断统计学
2、描述统计学：使用特定的数字或图表来体现数据的集中程度和离散程度。例 如：统计学生考试各个分段的人数分布等
3、推断统计学：根据样本数据推断总体数据特征。例如：产品质量检查

五，均值与中位数与众数的概念及计算
（1）均值：算术平均值，描述平均水平
$u = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i = \frac{1}{N}(X_1+X_2+...+X_N)$
（2）中位数：将数字排成有序，正中间的数描述中等水平
（3）众数：数据中出现最多的数

六，均值与中位数与众数区别

均值	中位数	众数
易受极端值影响	不受极端值影响	不受极端值影响
具有唯一性	具有唯一性	具有不唯一性
是一个通过计算得到的， 不是数据中的原始数据	是一个不完全“虚拟”的数	是一组数据中的原数据
数据分布对称或接近对称时使用	数据分布偏移程度较大时应用	数据分布偏移程度较大且有明显峰值时应用

七，均值与中位数与众数关系图

八，极差、方差与标准差的概念及计算
1. 极差
（1）作用：极差值大的表示数据分散，可以用来描述离散程度
（2）计算方式：最大值-最小值
（3）举例1： A={1,2,5,8,9} B=｛3,4,5,6,7｝
A极差值：9-1=8 B极差值：7-3=4
【缺陷】若A——1 2 5 8 9 C——1 4 5 6 9 与上例题极差值相 同所以区别不了离散程度。
2. 方差
（1）公式： $\sigma ^2= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (X_i -u)^2$也可以写成$\sigma ^2= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^2-u^2$
（2）性质：使用方差来描述数据的离散程度，数据越大越离散
（3）举例1：A={1,2,5,8,9} B={3,4,5,6,7}
$\sigma_A ^2=\frac{1}{5}[(1-5)^2+(2-5)^2+(5-5)^2+(8-5)^2+(9-5)^2] = 10$
$\sigma_A ^2=\frac{1}{5}[(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2] = 2$
结论：A数据分布比B数据分布更加离散
3. 标准差
（1）使用原因：由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡 量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。
（2）公式： $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^2-u^2}$
（3）举例：A={1,2,5,8,9} C={1,4,5,6,9} 则
$\sigma_A = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{10} = 3.162$
$\sigma_C = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{6.8} = 2.607$

九，常见的描述性统计方法之图示技术
箱线图
（1）概念：是一种用作显示一组数据分散 情况资料的统计图。因形状如箱子而得名。 在各种领域也经常被使用，常见于品质管理。

◆ 上四分位数：Q3，将所有数据按照从小到大的顺序排序排在第75%位置的数字
◆ 下四分位数：Q1，将所有数据按照从小到大的顺序排序排在第25%位置的数字
◆ 四分位距：IQR，等于Q3-Q1，衡量数据离散程度的一个统计量
◆ 异常点：小于Q1－1.5IQR或大于Q3+1.5IQR的值
◆ 上边缘：除异常点以外的数据中的最大值
◆ 下边缘：除异常点以外的数据中