利用“开环极点数”及“其对数频率特性中的±穿越次数”判断闭环系统的稳定性

（3）问题提出，如图1.2所示，开环传函中Hi1参数的范围为[0,Hi1_A]，开环极点数为0，正负穿越次数为--一次负穿越(相角位移有负的增量)，在此情形下，N=P-2(N+ - N-)，带入P=0，N-=1得N=2(意味着闭环系统中有2个右半平面极点，系统不稳定)。在此情形下，系统稳定的条件是什么呢？文中给出答案，当负穿越时其对应的增益裕度GM1>0dB说明负穿越无效，则计算出的N=0系统稳定。

那么为什么增益裕度GM1>0dB就能说明负穿越无效？

简要回答：GM1>0dB（ $GM1=20lg\left ( \frac{1}{a} \right )=-20lga$ ），说明幅频特性曲线在0dB以下，进一步意味着对应到幅相特性中的负实轴区间(-∞，-1)之外，从而此负穿越无效！

2 回顾奈氏稳定判据

要回答上述问题，其实只需要理解幅相特性下的奈氏稳定判据对应到对数特性下的情形是什么样子的即可。可参考清华大学出版社的《自动控制原理》一书中5.6节内容！

2.1 奈氏稳定判据基本原理

闭环传函的分母F(s)=1+G(s)H(s)，其极点P对应闭环传函零点，其零点N对应闭环传函极点，一般开环传函GH的分母阶数大于分子阶数，所以F(s)的极点和零点域GH对应。

系统稳定的条件转为F(s)在s右半平面的的零点为零。

2.2 映射定理

s平面与F(s)平面映射关系：

（1）s平面中绕F(s)的零点顺时针旋转一圈，对应于F(s)平面中绕原点顺时针旋转一周；

（2）s平面中绕F(s)的极点顺时针旋转一圈，对应于F(s)平面中绕原点逆时针旋转一周；

映射定理：在s平面上如闭合路径包围F(s)的P个极点、Z个零点，则在F(s)平面上对应有一条闭合路径围绕原点逆时针的圈数为N，则有 N=P-Z

P--在s平面上顺时针闭合路径包围F(s)的极点数；

Z--在s平面上顺时针闭合路径包围F(s)的零点数；

注意！这里的P、Z是指的所有的开环极点、零点，与Z=P-2(N+ - N-)中的P、Z理解不不一样这里的P、Z是开环系统右半平面的。

2.3 奈氏路径及其映射

为判别系统稳定性，即检验F(s)是否在s的右半平面存在零点，因此在s平面上所取得闭合曲线应包含s的整个右半平面。这条包围整个s右半平面的闭合曲线成为奈氏路径。

（1）ω=∞时的 F(jω)=1+W(jω)保持常量。W(jω)的分母阶数大于分子，ω=∞时趋于0；

（2）轨迹包围 F(jω)原点的情况取决于奈氏路径的±jω轴这一部分。

映射：F(jω)映射到W(jω)，因 F(jω)=1+W(jω)， F(jω)中包围原点变为W(jω)中包围（-1，j0）点。

2.4 奈氏稳定判据

当ω由-∞到∞变化时，在W(jω)平面上奈氏曲线绕（-1，j0）逆时针旋转的周数为N，则有 Z=P-N。

P：s右半平面极点数，Z：s右半平面零点数。

（1）如果开环系统稳定P=0(右半平面的极点数为零)(右半平面的极点数为零)，则闭环系统稳定的充要条件是W(jω)曲线不包围（-1，j0）点；

（2）如果开环系统不稳定P≠0(右半平面的极点数不为零)，则闭环系统稳定的充要条件W(jω)曲线逆时针包围（-1，j0）点P圈。

2.5 用系统开环对数频率特性判断闭环系统稳定性

2.5.1 开环幅相特性包围（-1，j0）点与穿越次数的关系

（1）开环幅相特性包围（-1，j0）点，可以用ω由0到∞变化时的开环幅相特性穿越负实轴区间（-∞，-1）的次数判断。开环幅相特性正穿越：产生相角位移为正的增量（上而下）；开环幅相特性负穿越：产生相角位移为负的增量（下而上）。

（2）如果开环系统稳定P=0(右半平面的极点数为零)，则复平面上W(jω)的正穿越与负穿越只差为0；如果开环系统不稳定P≠0(右半平面的极点数不为零)，则复平面上W(jω)的正穿越与负穿越只差为P/2。

2.5.2 开环幅相特性与对数频率特性的对应关系

（1）W(jω)平面上，|W(jω)|=1的单位圆，对应于对数幅频特性中的0dB线。

（2）W(jω)平面上单位圆以外的区域，如负实轴区间（-∞，-1）区段，对应于对数幅频特性中0dB以上的区域。

（3）W(jω)平面上的负实轴对应于对数相频特性中的-180°.

2.5.3 对数频率特性下正负穿越

（1）对数频率特性中的正穿越：在幅频特性位于0dB以上(大于0dB)的前提下，相频特性中自下向上穿越-180°（正的增量）；

（2）对数频率特性中的负穿越：在幅频特性位于0dB以上(大于0dB)的前提下，相频特性中自上向下穿越-180°（负的增量）；

2.5.4 对数频率特性稳定判据

(1）如果开环系统稳定P=0(右半平面的极点数为零)(右半平面的极点数为零)，则对数幅频特性中>0dB的所有频段，对数相频特性与-180°线的正负穿越次数之差为0时闭环系统稳定，否则不稳定；

（2）如果开环系统不稳定P≠0(右半平面的极点数不为零)，则对数幅频特性中>0dB的所有频段，对数相频特性与-180°线的正负穿越次数之差为P/2时闭环系统稳定，否则不稳定。

自此，开头提到的问题得以解答！

3 总结

自动控制理论中原理的理解需是需要重复的。