自动控制原理5.2---典型环节与开环系统的频率特性

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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2.典型环节与开环系统的频率特性

2.1 典型环节

典型环节分为：最小相位环节、非最小相位环节；

最小相位环节：

• 比例环节：$K，(K>0)$；
• 惯性环节：$1/(Ts+1)，(T>0)$；
• 一阶微分环节：$Ts+1，(T>0)$；
• 振荡环节：$1/(s^2/{\omega }_n^2+2\zeta s/{\omega }_n+1)，({\omega }_n>0，0\le \zeta <1)$；
• 二阶微分环节：$s^2/{\omega }_n^2+2\zeta s/{\omega }_n+1，({\omega }_n>0，0\le \zeta <1)$；
• 积分环节：$1/s$；
• 微分环节：$s$；

非最小相位环节：

• 比例环节：$K，(K<0)$；
• 惯性环节：$1/(-Ts+1)，(T>0)$；
• 一阶微分环节：$-Ts+1，(T>0)$；
• 振荡环节：$1/(s^2/{\omega }_n^2-2\zeta s/{\omega }_n+1)，({\omega }_n>0，0<\zeta <1)$；
• 二阶微分环节：$s^2/{\omega }_n^2-2\zeta s/{\omega }_n+1，({\omega }_n>0，0<\zeta <1)$；

开环传递函数的典型环节分解可将开环系统表示为若干个典型环节的串联形式：
$$G(s)H(s)=\prod _{i=1}^N{G}_i(s)\text{\hspace{1em}(1)}$$
设典型环节的频率特性为：
$$G_i(j\omega )=A_i(\omega )e^{j{\phi }_i(\omega )}\text{\hspace{1em}(2)}$$
则系统开环频率特性为：
$$G(j\omega )H(j\omega )=\left[\prod _{i=1}^N{A}_i(\omega )\right]e^{j\left[{\sum }_{i=1}^N{\phi }_i(\omega )\right]}\text{\hspace{1em}(3)}$$
系统开环幅频特性和开环相频特性为：
$$A(\omega )=\prod _{i=1}^N{A}_i(\omega )，\phi (\omega )=\sum _{i=1}^N{\phi }_i(\omega )\text{\hspace{1em}(4)}$$
系统开环对数幅频特性为：
$$L(\omega )=20\lg A(\omega )=\sum _{i=1}^{N}20\lg A_i(\omega )=\sum _{i=1}^N{L}_i(\omega )\text{\hspace{1em}(5)}$$

• 系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸典型环节频率特性的合成；
• 系统开环对数频率特性，表现为诸典型环节对数频率特性叠加；

2.2 典型环节的频率特性

典型环节频率特性曲线的若干特点：

1. 非最小相位与对应的最小相位环节

   最小相位的比例环节$G(s)=K(K>0)$，简称比例环节，幅频和相频特性如下：
   $$A(\omega )=K，\phi (\omega )=0°\text{\hspace{1em}(6)}$$
   非最小相位的比例环节$G(s)=-K(K>0)$，幅频和相频特性如下：
   $$A(\omega )=K，\phi (\omega )=-180°\text{\hspace{1em}(7)}$$
   最小相位的惯性环节$G(s)=\frac{1}{Ts+1}，(T>0)$，幅频和相频特性为：
   $$A(\omega )=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{\omega }^2}}，\phi (\omega )=-\arctan T\omega \text{\hspace{1em}(8)}$$
   非最小相位的惯性环节$G(s)=\frac{1}{-Ts+1}，(T>0)$，幅频和相频特性为：
   $$A(\omega )=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{\omega }^2}}，\phi (\omega )=\arctan T\omega \text{\hspace{1em}(9)}$$

   • 最小相位惯性环节和非最小相位的惯性环节，幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称；
   • 最小相位惯性环节和非最小相位惯性环节，对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0°线对称；
   • 上述两点特点，对于振荡环节和非最小相位振荡环节、一阶微分环节和非最小相位一阶微分环节、二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节均适用；

2. 传递函数互为倒数的典型环节

   最小相位典型环节中，积分环节和微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数，有如下关系：
   $$G_1(s)=\frac{1}{G_2(s)}\text{\hspace{1em}(10)}$$
   设$G_1(j\omega )=A_1(\omega )e^{j{\phi }_1(\omega )}$，则有：
   $$\{\begin{array}{ll}& {\phi }_2(\omega )=-{\phi }_1(\omega )\\ & L_2(\omega )=20\lg A_2(\omega )=20\lg \frac{1}{A_1(\omega )}=-L_1(\omega )\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
   传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于0°线对称；此结论在非最小相位环节中亦适用；

3. 振荡环节和二阶微分环节

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   振荡环节的传递函数为：
   $$G(s)=\frac{1}{(s/{\omega }_n{)}^2+2\zeta (s/{\omega }_n)+1}；{\omega }_n>0，0<\zeta <1\text{\hspace{1em}(12)}$$
   振荡环节的频率特性：
   $$A(\omega )=\frac{1}{\sqrt{{\left(\begin{array}{c}1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}\end{array}\right)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}}\text{\hspace{1em}(13)}$$

   $$\phi (\omega )=-\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}=\{\begin{array}{ll}& -\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}，\omega \le {\omega }_n\\ & -\left(\begin{array}{c}180-\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}-1}\end{array}\right)，\omega >{\omega }_n\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

   $\phi (0)=0°，\phi (\infty )=-180°$，相频特性曲线从0°单调减至-180°；当$\omega ={\omega }_n$时，$\phi ({\omega }_n)=-90°$，$A({\omega }_n)=\frac{1}{2\zeta }，$振荡环节与虚轴的交点为$-j\frac{1}{2\zeta }$；

   $A(0)=1，A(\infty )=0$，求$A(\omega )$的极值，
   $$\frac{dA(\omega )}{d\omega }=\frac{-\left[-\frac{2\omega }{{\omega }_n^2}\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}\right)+4{\zeta }^2\frac{\omega }{{\omega }_n^2}\right]}{{\left[{\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}\right)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}\right]}^{\frac{3}{2}}}=0\text{\hspace{1em}(15)}$$
   得谐振频率：
   $${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}，0<\zeta \le \sqrt{2}/2\text{\hspace{1em}(16)}$$
   谐振峰值：
   $$M_r=A({\omega }_r)=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}，0<\zeta \le \sqrt{2}/2\text{\hspace{1em}(17)}$$
   当$0<\zeta <\frac{\sqrt{2}}{2}$时，
   $$\frac{d{M}_r}{d\zeta }=\frac{-(1-2{\zeta }^2)}{{\zeta }^2(1-{\zeta }^2{)}^{\frac{3}{2}}}<0\text{\hspace{1em}(18)}$$
   ${\omega }_r，M_r$均为阻尼比$\zeta$的减函数$(0<\zeta \le \frac{\sqrt{2}}{2})$；当$0<\zeta <\frac{\sqrt{2}}{2}$时，且$\omega \in (0,{\omega }_r)$时，$A(\omega )$单调增；$\omega \in ({\omega }_r,\infty )$时，$A(\omega )$单调减；当$\frac{\sqrt{2}}{2}<\zeta <1$时，$A(\omega )$单调减；

   二阶微分环节的传递函数为振荡环节传递函数的倒数，按对称性可得二阶微分环节的对数频率曲线，有：
   $$\{\begin{array}{ll}& A(0)=1\\ & \phi (0)=0°\end{array}，\{\begin{array}{ll}& A({\omega }_n)=2\zeta \\ & \phi ({\omega }_n)=90°\end{array}，\{\begin{array}{ll}& A(\infty )=\infty \\ & \phi (\infty )=180°\end{array}\text{\hspace{1em}(19)}$$
   当阻尼比$\frac{\sqrt{2}}{2}<\zeta <1$时，$A(\omega )$从1单调增至$\infty$；当阻尼比$0<\zeta <\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\omega \in (0,{\omega }_r)$时，$A(\omega )$从1单调减至
   $$\{\begin{array}{ll}& A({\omega }_r)=2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}<1\\ & {\omega }_r=\omega \sqrt{1-2{\zeta }^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(20)}$$
   在$\omega \in ({\omega }_r,\infty )$时，$A(\omega )$单调增；

4. 对数幅频渐近特性曲线

   为简化惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的对数幅频曲线的作图，常用低频和高频渐近线近似表示对数幅频曲线，称为对数幅频渐近特性曲线；

   惯性环节的对数幅频渐近特性为：
   $$L_a(\omega )=\{\begin{array}{ll}0,& \omega <\frac{1}{T}\\ -20\lg \omega T，& \omega >\frac{1}{T}\end{array}\text{\hspace{1em}(21)}$$
   低频部分是零分贝线，高频部分是斜率为$-20dB/dec$的直线，两条直线交于$\omega =\frac{1}{T}$处，称频率$\frac{1}{T}$为惯性环节的交接频率；用渐近特性近似表示对数幅频特性存在误差：$\Delta L(\omega )=L(\omega )-L_a(\omega )$，在交接频率处误差最大，约为$-3dB$；一阶微分环节和非最小相位一阶微分环节与惯性环节的对数幅频渐近特性曲线以$0dB$线互为镜像；

   振荡环节的对数幅频特性为：
   $$L(\omega )=-20\lg \sqrt{{\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}\right)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}\text{\hspace{1em}(22)}$$
   当$\omega <<{\omega }_n$时，$L(\omega )\approx 0$，低频渐近线为0dB线；当$\omega >>{\omega }_n$时，$L(\omega )=-40\lg \frac{\omega }{{\omega }_n}$，高频渐近线为过$({\omega }_n,0)$点，斜率为-40dB/dec的直线，振荡环节的交接频率为${\omega }_n$，对数幅频渐近特性为：
   $$L_a(\omega )=\{\begin{array}{ll}0,& \omega <{\omega }_n\\ -40\lg \frac{\omega }{{\omega }_n},& \omega >{\omega }_n\end{array}\text{\hspace{1em}(23)}$$
   非最小相位振荡环节与振荡环节对数幅频渐近特性曲线相同，二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节与振荡环节的对数幅频渐近特性曲线关于0dB线对称；

   半对数坐标系中的直线方程为：
   $$k=\frac{L_a({\omega }_2)-L_a({\omega }_1)}{\lg {\omega }_2-\lg {\omega }_1}\text{\hspace{1em}(24)}$$
   其中：$[{\omega }_1,\lg ({\omega }_1)]、[{\omega }_2,\lg ({\omega }_2)]$为直线上的两点，$k(dB/dec)$为直线斜率；

2.3 开环幅相特性曲线

绘制概略开环幅相特性曲线的方法：

• 开环幅相特性曲线的起点$(\omega =0_{+})$和终点$(\omega =\infty )$；

• 开环幅相特性曲线与实轴的交点。设$\omega ={\omega }_x$时，$G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)$的虚部为：
  $$Im[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=0或\phi ({\omega }_x)=\angle [G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=k\pi ，k=0,\pm 1，\pm 2，\dots \text{\hspace{1em}(25)}$$
  其中：${\omega }_x$称为穿越频率；

  开环频率特性曲线与实轴交点坐标值为：
  $$Re[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)\text{\hspace{1em}(26)}$$

• 开环幅相特性曲线的变化范围(象限、单调性)；

实例分析：

Example1： 设系统开环传递函数为：
$$G(s)H(s)=\frac{K}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}；K,T_1,T_2>0$$
绘制系统概略开环幅相特性曲线。

解：

系统开环频率特性：
$$G(j\omega )H(j\omega )=\frac{K(1-j{T}_1\omega )(1-j{T}_2\omega )(-j)}{\omega (1+T_1^2{\omega }^2)(1+T_2^2{\omega }^2)}=\frac{K\left[-(T_1+T_2)\omega +j(-1+T_1{T}_2{\omega }^2)\right]}{\omega (1+T_1^2{\omega }^2)(1+T_2^2{\omega }^2)}$$
幅值变化：$A(0_{+})=\infty ，A(\infty )=0$；

相角变化：
$$\begin{array}{rl}& \angle \left(\frac{1}{j\omega }\right)：-90°～-90°\\ & \angle \left(\frac{1}{1+j{T}_1\omega }\right)：0°～-90°\\ & \angle \left(\frac{1}{1+j{T}_2\omega }\right)：0°～-90°\\ & \angle K：0°～0°\\ & \phi (\omega )：-90°～-270°\end{array}$$
起点处：
$$Re[G(j{0}_{+})H(j{0}_{+})]=-K(T_1+T_2)，Im[G(j{0}_{+})H(j{0}_{+})]=-\infty$$
与实轴交点：
$$Im[G(j\omega )H(j\omega )]=0，\Rightarrow {\omega }_x=\frac{1}{T_1{T}_2}$$

$$G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)=Re[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=-\frac{K{T}_1{T}_2}{T_1+T_2}$$

绘制概略开环幅相特性曲线规律小结：

• 开环幅相特性曲线的起点，取决于比例环节$K$和系统积分或微分环节的个数$\nu$(系统型别)；

  • $\nu <0$，起点为原点；
  • $\nu =0$，起点为实轴上的点$K$处，$K$为系统开环增益，$K$有正负之分；
  • $\nu >0$，设$\nu =4k+i(k=0,1,2,\dots ;i=1,2,3,4)，$则$K>0$时为$i\times (-90°)$的无穷远处，$K<0$时为$i\times (-90°)-180°$的无穷远处；

• 开环幅相特性曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和；

  设系统开环传递函数的分子、分母多项式的阶次分别为$m$和$n$，记除$K$外，分子多项式中最小相位环节的阶次和为$m_1$，非最小相位环节的阶次和为$m_2$，分母多项式中最小相位环节的阶次和为$n_1$，非最小相位环节的阶次和为$n_2$，则有：
  $$m=m_1+m_2,n=n_1+n_2$$

  $$\phi (\infty )=\{\begin{array}{ll}[(m_1-m_2)-(n_1-n_2)]\times 90°，& K>0\\ [(m_1-m_2)-(n_1-n_2)]\times 90°-180°,& K<0\end{array}\text{\hspace{1em}(27)}$$

  当开环系统为最小相位系统时，若：
  $$\begin{array}{rl}n=m,& G(j\infty )H(j\infty )=K^{\ast }\\ n>m,& Gj\infty H(j\infty )=0\angle [(n-m)\times (-90°)]\end{array}\text{\hspace{1em}(28)}$$
  其中：$K^{\ast }$为系统开环根轨迹增益；

• 若开环系统存在等幅振荡环节，重数$l$为正整数，即开环传递函数具有如下形式：
  $$G(s)H(s)=\frac{1}{(\frac{s^2}{{\omega }_n^2}+1{)}^l}{G}_1(s)H_1(s)\text{\hspace{1em}(29)}$$
  $G_1(s)H_1(s)$不含$\pm j{\omega }_n$的极点，则当$\omega$趋于${\omega }_n$时，$A(\omega )$趋于无穷，而：
  $$\begin{array}{rl}& \phi ({\omega }_{n^{-}})\approx {\phi }_1({\omega }_n)=\angle [G_1(j{\omega }_n)H_1(j{\omega }_n)]\\ & \phi ({\omega }_{n^{+}})\approx {\phi }_1({\omega }_n)-l\times 180°\end{array}\text{\hspace{1em}(30)}$$
  即$\phi (\omega )$在$\omega ={\omega }_n$附近，相角突变$-l\times 180°$；

2.4 开环对数频率特性曲线

系统开环对数幅频渐近特性：
$$L_a(\omega )=\sum _{i=1}^N{L}_{a_i}(\omega )\text{\hspace{1em}(31)}$$
对于任意的开环传递函数，按典型环节分解，将组成系统的典型环节分为三部分：

• $\frac{K}{s^{\nu }}$或$\frac{-K}{s^{\nu }}(K>0)$；
• 一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节及对应的非最小相位环节，交接频率为$\frac{1}{T}$；
• 二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节及对应的非最小相位环节，交接频率为${\omega }_n$；

记${\omega }_{min}$为最小交接频率，称$\omega <{\omega }_{min}$的频率范围为低频段；

开环对数幅频渐近特性曲线绘制步骤：

1. 开环传递函数典型环节分解；

2. 确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的$\omega$轴上；

3. 绘制低频段渐近特性线：在$\omega <{\omega }_{min}$频段内，开环系统幅频渐近特性的斜率取决于$\frac{K}{{\omega }^{\nu }}$，因而直线斜率为-20$\nu$dB/dec；获得低频渐近线，需要确定直线上的一点，方法如下：

   • 方法1：在$\omega <{\omega }_{min}$范围内，任选一点${\omega }_0$，计算$L_a({\omega }_0)=20\lg K-20\nu \lg {\omega }_0$；
   • 方法2：取频率为特定值${\omega }_0=1$，则$L_a(1)=20\lg K$；
   • 方法3：取$L_a({\omega }_0)$为特殊值0，有$\frac{K}{{\omega }_0^{\nu }}=1$，则${\omega }_0=K^{\frac{1}{\nu }}$；

   过点$({\omega }_0,L_a({\omega }_0))$在$\omega <{\omega }_{min}$范围内可作斜率为-20$\nu$dB/dec的直线；

4. 作$\omega \ge {\omega }_{min}$频段渐近特性线；在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的种类，当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和；

交接频率点处斜率的变化表：

实例分析：

Example2： 已知系统开环传递函数为：
$$G(s)H(s)=\frac{2000s-4000}{s^2(s+1)(s^2+10s+400)}$$
绘制系统开环对数幅频渐近特性曲线。

解：

开环传递函数的典型环节分解形式为：
$$G(s)H(s)=\frac{-10(1-\frac{s}{2})}{s^2(s+1)(\frac{s^2}{20^2}+\frac{1}{2}\frac{s}{20}+1)}$$
开环系统由6个典型环节串联而成：非最小相位比例环节、两个积分环节、非最小相位一阶微分环节、惯性环节和振荡环节；

STEP1：确定各交接频率${\omega }_i，i=1,2,3$及斜率变化值；

非最小相位一阶微分环节：${\omega }_2=2$，斜率增加20dB/dec；

惯性环节：${\omega }_1=1$，斜率减小20dB/dec；

振荡环节：${\omega }_3=20$，斜率减小40dB/dec；

STEP2：绘制低频段渐近特性曲线；

因为$\nu =2$，低频渐近线斜率$k=-40$dB/dec，直线上一点$({\omega }_0,L_a({\omega }_0))=(1,20dB)$；

STEP3：绘制中高频段渐近特性曲线；
$$\begin{array}{rl}& {\omega }_{min}\le \omega <{\omega }_2，k=-60dB/dec\\ & {\omega }_2\le \omega <{\omega }_3，k=-40dB/dec\\ & \omega \ge {\omega }_3,k=-80dB/dec\end{array}$$

2.5 延迟环节和延迟系统

输出量经恒定延时后不失真地复现输入量变化的环节称为延迟环节；含有延迟环节的系统称为延迟系统；

延迟环节的输入输出时域表达式为：
$$c(t)=1(t-\tau )r(t-\tau )\text{\hspace{1em}(32)}$$
其中：$\tau$为延迟时间；

延迟环节的传递函数为：
$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau s}\text{\hspace{1em}(33)}$$
延迟环节的频率特性为：
$$G(j\omega )=e^{-j\tau \omega }=1\cdot \angle (-57.3\tau \omega )\text{\hspace{1em}(34)}$$

2.6 传递函数的频域实验确定

1. 频率响应实验
   

   • 先选择信号源输出的正弦信号的幅值，以使系统处于非饱和状态；
   • 在一定频率范围内，改变输入正弦信号的频率，记录各频率点处系统输出信号的波形；
   • 由稳态段的输入输出信号的幅值比和相位差绘制对数频率特性曲线；

2. 传递函数确定

   从低频段起，将实验所得的对数幅频特性曲线用斜率为0dB/dec，±20dB/dec，±40dB/dec，…直线分段近似，获得对数幅频渐近特性曲线；

   由对数幅频渐近特性曲线确定最小相位条件下系统的传递函数，是对数幅频渐近特性曲线绘制的逆问题；

实例分析：

Example3： 下图由频率响应实验获得的某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线和对数幅频渐近特性曲线，确定系统的传递函数。

解：

STEP1：确定系统积分或微分环节的个数。

由图可知，对数幅频渐近特性曲线低频渐近线的斜率为+20dB/dec，因此$\nu =-1$，即系统含有一个微分环节；

STEP2：确定系统传递函数结构形式。

本题中，有两个交接频率：

$\omega ={\omega }_1$处，斜率变化-20dB/dec，对应惯性环节；

$\omega ={\omega }_2$处，斜率变化-40dB/dec，可以对应振荡环节，也可以是重惯性环节，由图可知，在${\omega }_2$附近存在谐振现象，因此为振荡环节；

系统传递函数形式为：
$$G(s)=\frac{Ks}{\left(1+\frac{s}{{\omega }_1}\right)\left(\frac{s^2}{{\omega }_2^2}+2\zeta \frac{s}{{\omega }_2}+1\right)}$$
其中参数${\omega }_1、{\omega }_2、\zeta 、K$待定；

STEP3：由给定条件确定传递函数参数。

低频渐近线方程为：
$$L_a(\omega )=20\lg \frac{K}{{\omega }^{\nu }}=20\lg K-20\nu \lg \omega$$
由给定点$(\omega ,L_a(\omega ))=(1,0)$及$\nu =-1$可得：$K=1$

根据直线方程式：
$$L_a({\omega }_a)-L_a({\omega }_b)=k(\lg {\omega }_a-\lg {\omega }_b)$$
由给定点：
$${\omega }_a=1,L_a({\omega }_a)=0,{\omega }_b={\omega }_1,L_a({\omega }_b)=12,k=20$$
可得：
$${\omega }_1=10^{\frac{12}{20}}=3.98$$
由给顶点：
$${\omega }_a=100,L_a({\omega }_a)=0,{\omega }_b={\omega }_2,L_a({\omega }_b)=12,k=-40$$
可得：
$${\omega }_2=10^{\left(-\frac{12}{40}+\lg 100\right)}=50.1$$
在谐振频率${\omega }_r$处，振荡环节的谐振峰值为：
$$20\lg M_r=20\lg \frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$$
根据：$20\lg M_r=20-12=8(dB)$，因此：$M_r=2.512$，则有：
$${\zeta }^4-{\zeta }^2+0.04=0\Rightarrow {\zeta }_1=0.204，{\zeta }_2=0.979$$
因为$0<\zeta <0.707$才存在谐振峰值，因此$\zeta =0.204$；

综上，系统的传递函数为：
$$G(s)=\frac{s}{\left(\frac{s}{3.98}+1\right)\left(\frac{s^2}{50.1^2}+0.408\frac{s}{50.1}\right)+1}$$