自动控制原理6.2---常用校正装置及其特性

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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2.常用校正装置及其特性

2.1 无源校正网络

2.1.1 无源超前网络

• 如果输入信号源的内阻为零，且输出端的负载阻抗为无穷大，则超前网络的传递函数为：
  $$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  其中：
  $$a=\frac{R_1+R_2}{R_2}>1，T=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}C$$
  $a$称为分度系数，$T$称为时间常数；

  采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降为原来的$\frac{1}{a}$，因此需要提高放大器增益加以补偿；

• 改变$a、T$的数值，超前网络的零、极点可在$s$平面的负实轴上任意移动；

• 无源超前网络$a{G}_c(s)$的对数频率特性如下：
  

  • 超前网络对频率在$1/(aT)$至$1/T$之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内，输出信号相角比输入信号相角超前；

  • 在最大超前角频率${\omega }_m$处，具有最大超前角${\phi }_m$，且${\omega }_m$正好处于频率$1/(aT)$和$1/T$的几何中心；

  • 相关证明：
    $${\phi }_c(\omega )=\arctan aT\omega -\arctan T\omega =\arctan \frac{(a-1)T\omega }{1+a{T}^2{\omega }^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$
    对$\omega$求导并令其为零，可得最大超前角频率：
    $${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}\text{\hspace{1em}(3)}$$
    根据条件，求最大超前角：
    $${\phi }_m=\arctan \frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin \frac{a-1}{a+1}\text{\hspace{1em}(4)}$$
    最大超前角${\phi }_m$仅与分度系数$a$有关；$a$值越大，超前网络的微分效应越强；为了保持较高的系统信噪比，实际选用的$a$值一般不超过20；

    ${\omega }_m$处的对数幅频值：
    $$L_c({\omega }_m)=20\lg |a{G}_c(j{\omega }_m)|=10\lg a\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.1.2 无源滞后网络

• 如果输入信号源的内阻为零，负载阻抗为无穷大，滞后网络的传递函数为：
  $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}\text{\hspace{1em}(6)}$$
  其中：
  $$b=\frac{R_2}{R_1+R_2}<1，T=(R_1+R_2)C$$
  $b$称为滞后网络的分度系数，表示滞后深度；

• 滞后网络在频率$1/T$至$1/(bT)$之间呈积分效应，对数相频特性成滞后特性；

• 最大滞后角${\phi }_m$发生在最大滞后角频率${\omega }_m$处，且${\omega }_m$正好是$1/T$与$1/(bT)$的几何中心；

• 计算${\omega }_m、{\phi }_m$的公式：
  $${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{b}}，{\phi }_m=\arcsin \frac{1-b}{1+b}\text{\hspace{1em}(7)}$$

• 滞后网络对低频有用信号不产生衰减，对高频噪声信号有削弱作用，$b$值越小，通过网络的噪声电平越低；

• 采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕度；因此，力求避免最大滞后角发生在已校正系统开环截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$附近；选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率$1/(bT)$远小于${\omega }_c^{\prime \prime }$，一般取：
  $$\frac{1}{bT}=\frac{{\omega }_c^{\prime \prime }}{10}\text{\hspace{1em}(8)}$$

2.1.3 无源滞后-超前网络

• 无源滞后-超前传递函数：
  $$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{T_a{T}_b{s}^2+(T_a+T_b+T_{ab})s+1}\text{\hspace{1em}(9)}$$
  其中：
  $$T_a=R_1{C}_1,T_b=R_2{C}_2,T_{ab}=R_1{C}_2$$
  上式可写为：
  $$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{(1+T_{1}s)(1+T_{2}s)}\text{\hspace{1em}(10)}$$
  比较式(9)和式(10)，可得：
  $$T_1{T}_2=T_a{T}_b，T_1+T_2=T_a+T_b+T_{ab}$$
  设
  $$T_1>T_a，\frac{T_a}{T_1}=\frac{T_2}{T_b}=\frac{1}{\alpha }，\alpha >1$$
  则有：
  $$T_1=\alpha T_a,T_2=\frac{T_2}{\alpha }$$
  无源滞后-超前网络的传递函数最终形式：
  $$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{(1+\alpha T_{a}s)(1+\frac{T_b}{\alpha }s)}\text{\hspace{1em}(11)}$$
  其中：$(1+T_{a}s)/(1+\alpha T_{a}s)$为网络的滞后部分；$(1+T_{b}s)/(1+T_{b}s/\alpha )$为网络的超前部分；

2.2 有源校正装置

1. 比例环节
   
   传递函数：
   $$G(s)=K，K=\frac{R_2}{R_1}\text{\hspace{1em}(12)}$$

2. 微分环节
   
   传递函数：
   $$G(s)=K_{t}s，K_t为测速发电机输出功率\text{\hspace{1em}(13)}$$

3. 积分环节
   
   传递函数：
   $$G(s)=\frac{1}{Ts}，T=R_{1}C\text{\hspace{1em}(14)}$$

4. 比例-微分环节
   
   传递函数：
   $$G(s)=K(1+\tau s)，K=\frac{R_2+R_3}{R_1}，\tau =\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}C\text{\hspace{1em}(15)}$$

5. 比例-积分环节
   
   传递函数：
   $$G(s)=\frac{K}{T}\left(\frac{1+Ts}{s}\right)，K=\frac{R_2}{R_1}，T=R_{2}C\text{\hspace{1em}(16)}$$

6. 比例-积分-微分环节
   
   传递函数：
   $$G(s)=K\frac{(1+Ts)(1+\tau s)}{Ts}，K=\frac{R_2}{R_1}，T=R_2{C}_2，\tau =R_1{C}_1\text{\hspace{1em}(17)}$$

7. 滤波型调节器(惯性环节)
   
   传递函数：
   $$G(s)=\frac{K}{1+Ts}，K=\frac{R_2}{R_1}，T=R_{2}C\text{\hspace{1em}(18)}$$