低通滤波器和高通滤波器的程序实现原理推导

傅立叶变换,拉普拉斯变换和Z变换

对于信号分析而言,傅立叶变换是必不可少的,我们都知道傅立叶变换是把系统从时域变换到频域进行分析,那么拉普拉斯变换和Z变换是干什么的?简单的来说,由于傅里叶变换的收敛有一个狄利克雷条件，要求信号绝对可积/绝对可和。对于那些不符合狄利克雷条件的信号该怎么办呢,我们将频域的概念扩展到复频域.首先要说明的是傅立叶变换大致有两种,连续时间的傅立叶变换(CTFT)和离散的傅立叶变换(DTFT).而对于CTFT而言,拉普拉斯变换就是将连续时间系统的傅立叶变换扩展了;而对于DTFT而言,Z变换就是将离散时间系统的傅立叶变换扩展了.知乎上有一个很好的对三种变换的解释:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系

---

RC一阶低通滤波器的算法推导

一阶的RC电路如下:

这里直接给出其s域的传递函数:

$$\frac{\mathbf{V_{out}}}{\mathbf{V_{in}}}=\frac{1}{RCs+1},(s=j\omega)$$
对其进行z变换(一阶后差分):
$s=\frac{1-z^{-1}}{T},T表示采样周期$
则传递函数变为:
$$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{T}{RC(1-Z^{-1})+T}$$
又因为 $Y(z)=Y(n)z^{-n},且\frac{Y(n-1)}{Y(n)}=z^{-1}$, $X(z)=X(n)z^{-n},且\frac{X(n-1)}{X(n)}=z^{-1}$,代入到上式的传递函数得:
$$Y(n)=\frac{T}{T+RC}X(n)+\frac{RC}{T+RC}Y(n-1)$$
其中:
$X(n):本次采样值$
$Y(n-1):上次滤波值$
令 $a=\frac{T}{T+RC}\approx \frac{T}{RC}=\omega T=2\pi fT$
则滤波公式为:
$$Y(n)=a*X(n)+(1-a)*Y(n-1)$$
这与px4代码的lib库中低通滤波是一样的:

float BlockLowPass::update(float input)
{
    if (!PX4_ISFINITE(getState())) {
        setState(input);
    }

    float b = 2 * float(M_PI) * getFCut() * getDt();
    float a = b / (1 + b);
    setState(a * input + (1 - a)*getState());//input:本次采样值 getState():上次滤波值
    return getState();
}

---

一阶RC高通滤波器

RC高通滤波器原理图如下,它和低通相反,电阻两端的电压作为输出,则其s域的传递函数为:

$$\frac{\mathbf{V_{out}}}{\mathbf{V_{in}}}=\frac{RCs}{RCs+1}$$
$z$变换(一阶后向差分):
$$s=\frac{1-z^{-1}}{T}$$
得到 $z$域的传递函数为:
$$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{RC(1-z^{-1})}{RC(1-z^{-1})+T}$$
同样的, $Y(z)=Y(n)z^{-n},且\frac{Y(n-1)}{Y(n)}=z^{-1}$, $X(z)=X(n)z^{-n},且\frac{X(n-1)}{X(n)}=z^{-1}$,则有:
$$Y(n)=\frac{RC}{RC+T}(X(n)-X(n-1)+Y(n-1))$$
其中:
$X(n):本次采样值$
$X(n-1):上次采样值$
$Y(n-1):上次滤波值$
我们令令 $b=\frac{T}{T+RC}\approx \frac{T}{RC}=\omega T=2\pi fT$, $a=\frac{1}{1+b}$
则高通滤波的算法公式为:
$$Y(n)=b*(X(n)-X(n-1)+Y(n-1))$$
这与px4中的高通滤波是一样的:

float BlockHighPass::update(float input)
{
    float b = 2 * float(M_PI) * getFCut() * getDt();
    float a = 1 / (1 + b);
    setY(a * (getY() + input - getU()));//getY():上次滤波器输出值;getU():上次滤波器输入值
    setU(input);
    return getY();
}

---

总结

关于低通滤波和高通滤波,最关键的是学到了三类变换的关系以及离散化的方法,留下各位大佬的博客链接在此:
【滤波器学习笔记】一阶RC低通滤波
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系
基础电路—RC组成的低通、高通滤波器
双线性变换
z变换