转载链接：https://www.cnblogs.com/denny402/p/5016530.html
在本文中，稀疏表示的原理不再具体讲解，有需要的同学请自行百度。
本文采用OMP算法来求解稀疏系数。首先随机生成字典数据和待测试数据
字典数据：
|
1
2
3
4
5
6
|
dic =[
6, 7, 9, 9, 7, 0, 6, 3, 6, 9;
1, 8, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 7, 3;
3, 3, 5, 4, 8, 2, 6, 1, 2, 2;
6, 1, 0, 7, 3, 5, 0, 6, 3, 3;
7, 5, 0, 5, 3, 0, 2, 7, 1, 7];
|
这是一个5*10的矩阵，行数代表维度，列数代表样本数。列数在字典中也叫字典原子，此处有10个原子，原子数大于维数，符合过完备要求。
信号数据：
|
1
|
signal=[ 9; 8; 8; 3; 9];
|
为了简便，只模拟了一个信号数据，是一个5*1的矩阵，如果有多个数据，则应该是5*n的矩阵。求解的时候，可用循环求解。
一、在matlab中实现稀疏表示，求解稀疏系数
clc;close all;clear all; dic =[ 6, 7, 9, 9, 7, 0, 6, 3, 6, 9; 1, 8, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 7, 3; 3, 3, 5, 4, 8, 2, 6, 1, 2, 2; 6, 1, 0, 7, 3, 5, 0, 6, 3, 3; 7, 5, 0, 5, 3, 0, 2, 7, 1, 7]; %字典 signal=[ 9; 8; 8; 3; 9]; %原始信号 dic=dic*diag(1./sqrt(sum(dic.^2))); %字典原子单位化，即每列的norm为1 signal=signal/norm(signal); %信号单位化 [A,res]=OMP(dic,signal,6); %稀疏度设定为6，即非零元素最多为6个 A %输出系数 res %输出残差 epsilon=norm(signal-dic*A) %验证残差 ||Y-Dx||2
其中OMP算法：
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
|
%OMP计算稀疏系数
function
[A,res]=OMP(D,X,L)
% 输入参数:
% D - 过完备字典，注意：必须字典的各列必须经过了规范化
% X - 信号
% L - 稀疏度，系数中非零元个数的最大值
% 输出参数:
% A - 当前信号的系数
% res - 残差
%%
residual=X;
%初始化残差
indx=
zeros
(L,1);
for
i
=1:L,
proj=D'*residual;
%D转置与residual相乘，得到与residual与D每一列的内积值
[~,pos]=
max
(
abs
(proj));
%找到内积最大值的位置
pos=pos(1);
%若最大值不止一个，取第一个
indx(
i
)=pos;
%将这个位置存入索引集的第j个值
a=
pinv
(D(:,indx(1:
i
)))*X;
%indx(1:j)表示第一列前j个元素
residual=X-D(:,indx(1:
i
))*a;
res=
norm
(residual);
if
res< 1e-6
break
;
end
end
A=
zeros
(
size
(D,2),1);
A(indx(indx~=0))=a;
end
|
结果：
A =
0.1450
0.9391
0
0
0.4210
0.1049
0
0
-0.5503
0
res =
3.1402e-16
epsilon =
3.1402e-16
从系数中可以看出，从10个原子共选出了5个原子进行表示，最后的残差非常小，说明稀疏表示的结果和原数据非常接近。
二、在opencv2中实现稀疏表示
void getData(Mat &data, Mat &signal); int main(int argc, char* argv[]) { Mat dic, signal; getData(dic, signal); //获取模拟数据 Mat temp(1, dic.cols, CV_32F); //用一个矩阵保存每个原子的模长 for (int i = 0; i<dic.cols; i++) { temp.col(i) = norm(dic.col(i)); //每个原子的模长 } divide(dic, repeat(temp, dic.rows, 1), dic); //字典原子单位化 signal = signal / norm(signal); //信号单位化 Mat A=src.OMP(dic, signal, 8); //调用OPM求解 float res =(float)norm(signal - dic*A); //计算残差 cout << "系数：" <<endl<< A << endl; cout<<endl<<"残差:"<< endl<<res << endl; //输出残差 waitKey(0); return 0; } void getData(Mat &dic, Mat &signal) { dic = (Mat_<float>(5, 10) << 6, 7, 9, 9, 7, 0, 6, 3, 6, 9, 1, 8, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 7, 3, 3, 3, 5, 4, 8, 2, 6, 1, 2, 2, 6, 1, 0, 7, 3, 5, 0, 6, 3, 3, 7, 5, 0, 5, 3, 0, 2, 7, 1, 7); signal = (Mat_<float>(5, 1) << 9, 8, 8, 3, 9); }
其中，OMP函数为：
Mat SRC::OMP(Mat& dic, Mat& signal,int sparsity) { if (signal.cols>1) { cout << "wrong signal" << endl; exit(-1); } vector<int> selectedAtomOrder; //保存所有选出的字典原子序号 Mat coef(dic.cols, 1, CV_32F, Scalar::all(0)); //需要返回的系数 Mat residual = signal.clone(); //初始化残差 Mat indx(0, 1, CV_32F);//初始化临时系数 Mat phi; //保存已选出的原子向量 float max_coefficient; unsigned int atomOrder; //每次所选择的原子的序号 for (;;) { max_coefficient = 0; //取出内积最大列 for (int i = 0; i <dic.cols; i++) { float coefficient = (float)dic.col(i).dot(residual); if (abs(coefficient) > abs(max_coefficient)) { max_coefficient = coefficient; atomOrder = i; } } selectedAtomOrder.push_back(atomOrder); //添加选出的原子序号 Mat& temp_atom = dic.col(atomOrder); //取出该原子 if (phi.cols == 0) phi = temp_atom; else hconcat(phi, temp_atom, phi); //将新原子合并到原子集合中（都是列向量） indx.push_back(0.0f); //对系数矩阵新加一项 solve(phi, signal, indx, DECOMP_SVD); //求解最小二乘问题 residual = signal - phi*indx; //更新残差 float res_norm = (float)norm(residual); if (indx.rows >= sparsity || res_norm <= 1e-6) //如果残差小于阈值或达到要求的稀疏度，就返回 { for (int k = 0; k < selectedAtomOrder.size(); k++) { coef.row(selectedAtomOrder[k]).setTo(indx.row(k)); //得到最终的系数 } return coef; } } }
最终输出结果为：
系数： [0.14503297; 0.9391216; 0; 0; 0.42096639; 0.1048916; 0; 0; -0.55029994; 0] 残差: 1.70999e-007
看以看出，opencv得到的系数和matlab得到的系数基本是一样，只是小数点后保留的位数区别。因为小数位数不相同，所以最后残差有点不同，但不影响最终结果，我们只需要系数相同即可。