51nod 1055 斐波拉契数列快速求解

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看到n的数据量就知道不是简单递推了。

这里介绍俩种方法：

1. 求解数列的递推公式 

通过特征方程可以得到这个公式

但是发现这里既有浮点数也有除数，取膜的时候就不对了

a.对于除数，我们可以找到逆元，求出逆元即可

b.

对于浮点数sqrt（5），x=616991993是它的逆元，那么用这个数代替sqrt（5）即可

对于浮点数1/5 找到逆元是y=200000002

所以an = x*y*( (616991994/2)^n - (-616991992/2)^n)即可

2. 利用矩阵的性质（如下特点），

所以需要求fn的话，跑一下n次方的矩阵，然后返回矩阵的斜对角任意各一个值即可（他们相等）

#include<iostream>
using namespace std;
#define mod 1000000009
long long pow(long long n){
	long long ans[2][2] = {{1,0},{0,1}};
	long long a[2][2] ={{1,1},{1,0}};
	long long b[2][2] ={{1,1},{1,0}};
	while(n){
		if(n&1){
			for(int i = 0;i<2;i++)
				for(int j = 0;j<2;j++){
					b[i][j] = 0;
					for(int k = 0;k<2;k++)
						b[i][j] = (b[i][j] + ans[i][k]*a[k][j])%mod;
				}
			for(int i = 0;i<2;i++){
				for(int j = 0;j<2;j++)
					ans[i][j] = b[i][j]%mod;
			}
		}
		n>>=1;
		for(int i = 0;i<2;i++)
			for(int j = 0;j<2;j++){
				b[i][j] = 0;
				for(int k = 0;k<2;k++)
					b[i][j] = (b[i][j] + a[i][k]*a[k][j]%mod)%mod;
			}
		for(int i = 0;i<2;i++){
			for(int j = 0;j<2;j++)
				a[i][j] = b[i][j]%mod;
		}
	}
	return ans[1][0];
}
int main(){
	long long  n;
	cin>>n;
	cout<<pow(n);
}