快速幂矩阵的应用
主要通过把数放到矩阵的不同位置，然后把普通递推式变成"矩阵的等比数列"，最后快速幂求解递推式:
先通过入门的题目来讲应用矩阵快速幂的套路：
题目：斐波那契数列f(n)
矩阵快速幂是用来求解递推式的，所以第一步先要列出递推式:
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
第二步是建立矩阵递推式，找到转移矩阵:
,
简写成T * A(n-1)=A(n)，T矩阵就是那个2*2的常数矩阵，而
这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n); 1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);
构建矩阵递推的大致思路：
这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般 An 与 A(n-1) 都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵 T ,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵 ) , 它能把 A(n-1 )转移到 A(n) ; 然后这就是个等比数列，直接写出通项:
此处 A1 叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到 An, （这道题An就两个元素(两个位置)，根据自己设置的A(n)对应位置）
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题
斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)
给出n，求F(n)，由于结果很大，输出F(n) % 1000000009的结果即可。
Input
输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。
Output
输出F(n) % 1000000009的结果。
Input示例
11
Output示例
89
AC代码：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn=107;
#define ll long long
ll c[maxn][maxn],a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
int mod=1e9+9,n;
ll m;
void multi(ll a[][maxn],ll b[][maxn],int n)//n是矩阵大小，n<maxn,二维数组传参，
{ //第一维可以省略，第二维不可以省略
memset(c,0,sizeof c);
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
ll sum=0;
for(int k=0;k<n;k++)
sum+=(a[i][k]*b[k][j])%mod;
c[i][j]=sum%mod;
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
a[i][j]=c[i][j]%mod;
}
}
long long res[maxn][maxn];
void Pow(ll a[][maxn],int n,ll m)
{
memset(res,0,sizeof res);//m是幂，n是矩阵大小
for(int i=0;i<n;i++) res[i][i]=1;
while(m)
{
if(m%2==1)
multi(res,a,n);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了；
multi(a,a,n);//a=a*a
m=m/2;
}
}
int main()
{
scanf("%lld",&m);
n=2;
a[0][0]=1,a[0][1]=1,a[1][0]=1,a[1][1]=0;
Pow(a,n,m);
printf("%lld\n",res[1][0]);
return 0;
}