p级数敛散性积分方式证明

同济大学出版的高等数学无穷级数这一章，关于常数项级数的审敛法，证明p级数敛散性问题，对其积分法不甚明了，所以记录下自己思索的过程：

讨论p级数：

$$1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+.....+\frac{1}{n^p}+....$$
的收敛性，其中常数 $p$>0

第一个问题用比较审敛法很好证明，我顺利的明白了。
即当$p\le1$时，有$\frac{1}{n^p}\ge \frac{1}{n}$,调和级数是发散的，按照比较审敛法：
若$v_n$是发散的，在n>N,总有$u_n \ge v_n$,则$u_n$也是发散的。
调和级数$\frac{1}{n}$是发散的，那么p级数也是发散的~！

第二个条件则证明变得繁琐：

当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，我们取一个邻域区间，使邻域区间
$x\in[k,k-1]$使得某个函数在$[k,k-1]$邻域区间内的积分小于$\frac{1}{x^p}$在这个邻域区间的积分。然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。

这个证明的比较函数取的很巧妙，，令$k-1\le x \le k$,那么$\frac{1}{k^p} \le \frac{1}{x^p}$.
利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。

$$\frac{1}{k^p}=\int_{k-1}^{k}\frac{1}{k^p}dx(这里是对x积分而不是k) \le\int_{k-1}^{k} \frac{1}{x^p}$$
其中 $（k=2,3....）$

讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。

$$s_n=1+\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^p}（p级数） \le 1+\sum_{k=2}^{n} \int_{k}^{k-1} \frac{1}{x^p}=1+\int_{1}^{n} \frac{1}{x^p}dx$$

这里利用积分区间的可加性:

$$\int_{D_1}f(x)dx+ \int_{D_2}f(x)dx=\int_{D_1+D_2}f(x)dx$$
求一下初等函数的原函数就搞定了！呵呵，只能说这个思路不太容易想到。