剑指offer——8.跳台阶

题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

解题思路1：

一级台阶只有一种方法，两级台阶有两种方法，n级台阶第一次跳只有两种情况，可以拆分为第一次跳一级，有f(n-1)种方法，或第一次跳两级，有f(n-2)种方法，所以f(n)一共有f(n-1)+f(n-2)种方法，即同斐波那契数列原理相同。

可以使用递归，但是时间效率较低。

参考源码1：

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number)
    {
        if(number <= 0) return 0;
        if(number == 1) return 1;
        if(number == 2) return 2;
        return jumpFloor(number-1) + jumpFloor(number-2);
    }
};

解题思路2：

使用循环，时间效率高。

参考源码2：

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number)
    {
        if(number <= 0) return 0;
        if(number == 1) return 1;
        if(number == 2) return 2;
        int lastlast = 1;
        int last = 2;
        int res = 0;
        for(int i = 3;i <= number;i++)
        {
            res = lastlast + last;
            lastlast = last;
            last = res;
        }
        return res;
    }
};

题目扩展1：

变态跳台阶：在青蛙跳台阶的问题中，如果把条件改成：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

解题思路：

f1 = 1
f2 = f1 + 1 = 2
f3 = f2 + f1 + 1 = 2 + 2 = 4
f4 = f3 + f2 + f1 + 1 = 4 + 4 = 8
f5 = f4 + f3 + f2 + f1 + 1 = 16

所以，变态跳台阶仍旧是菲波那切数列，方法同跳台阶类似。

参考源码：

class Solution 
{
public:
	int jumpFloorII(int number) 
	{
		if (number <= 0) return 0;
		return pow(2, number-1);
	}
};

//递归
class Solution 
{
public:
	int jumpFloorII(int number) 
	{
		if (number <= 0) return 0;
		if (number == 1) return 1;
		if (number > 1)
		{
			return 2 * jumpFloorII(number - 1);
		}
	}
};

题目扩展2：

我们可以用2×1（图2.13的左边）的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用8个2×1的小矩形无重叠地覆盖一个2×8的大矩形（图2.13的右边），总共有多少种方法？

解题思路：

同样是进行数学建模：

f1 = 1，只有一个竖着放
f2 = f1 + 1 = 1+1 = 2，第一种一个竖着放，后面还有一个位置；第二种两个都横着放
f3 = f2 + f1 = 2+1 = 3，第一种一个竖着放，后面还有两个位置；第二种前面两个横着放，后面有一个位置
f4 = f3 + f2 = 3+2 = 5，第一种一个竖着放，后面还有三个位置，为f3；第二种前面两个横着放，后面还有两个位置，为f2
f5 = f4 + f3 = 5+3 = 8

所以，同样为斐波拉切数列。