题意:小a有个烟花,每个烟花代表着互不相同的颜色,对于第个烟花,它有的概率点燃,现在小a要去点燃它们,他想知道产生颜色的期望个数 及 产生恰好产生种颜色的概率 。
思路:概率DP 。
我们先看下面这个表格,是n为3,k为2的情况。
i\dp\j | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | ||
2 | |||
3 |
可以看出来对于前i个烟花,恰好有j个燃放的概率只与前i-1个烟花,恰好有j个或j-1个燃放的概率有关。
设DP[i][j]表示前i个烟花恰好爆炸了j个的概率,可得DP方程:
AC代码:
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/rope>
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
inline int read(){int r=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9') {c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9') {r=r*10+c-'0';c=getchar();}return r;}
inline ll readll(){ll r=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9') {c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9') {r=r*10+c-'0';c=getchar();}return r;}
const double eps = 1e-8;
const double PI = acos(-1.0);
const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
const int MAXN = 1e5;
const int MAXM = 1e5;
double dp[MAXN][233];
int main(int argc, char const *argv[])
{
int n, k;
double p, ans = 0;
cin >> n >> k;
dp[0][0] = 1;
for(int i=1; i<=n; ++i){
cin >> p;
ans += p;
dp[i][0] = dp[i-1][0]*(1.0-p);
for(int j=1; j<=k;++j){
dp[i][j] = dp[i-1][j]*(1.0-p)+dp[i-1][j-1]*p;
}
}
printf("%.4lf\n%.4lf", ans, dp[n][k]);
return 0;
}
这个DP方程的时间复杂度已经无法优化了,但是空间复杂度还可以从n*k优化成k。
我们用DP[i]表示在已经燃放了一下烟花后,恰好燃放了i个烟花的概率,重复利用DP数组。
但是有一点需要注意:我们更新DP时,需要从后向前更新,因为从前向后更新会将后面更新要用到的上一层的DP值覆盖。
AC代码:
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/rope>
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
inline int read(){int r=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9') {c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9') {r=r*10+c-'0';c=getchar();}return r;}
inline ll readll(){ll r=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9') {c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9') {r=r*10+c-'0';c=getchar();}return r;}
const double eps = 1e-8;
//const double PI = acos(-1.0);
const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
const int MAXN = 1e5;
const int MAXM = 1e5;
double dp[233];
int main(int argc, char const *argv[])
{
int n, k;
double p, ans = 0;
cin >> n >> k;
dp[0] = 1;
for(int i=1; i<=n; ++i){
cin >> p;
ans += p;
for(int j=k; j>=0; --j){
dp[j] = dp[j]*(1.0-p)+dp[j-1]*p;
}
}
printf("%.4lf\n%.4lf", ans, dp[k]);
return 0;
}