gcd

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Problem Description

Little White learned the greatest common divisor, so she plan to solve a problem: given x, n，
query ∑gcd( $x^a−1$ -1, $x^b$ −1) (1≤a,b≤n)

Input

The first line of input is an integer T ( 1≤T≤300)
For each test case ，the single line contains two integers x and n ( 1≤x,n≤1000000)

Output

For each testcase, output a line, the answer mod 1000000007

Sample Input

Sample Output

Source

BestCoder Round #85

题意：

a的取值范围是[1,n],b的取值范围是[1,n]，求 $gcd((x^a)-1,(x^b)-1)$ 之和

分析：

首先， $gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{gcd(a,b)}-1$ ,问题转化为求1到n，最大公约数为d的个数 * (x^d)-1的和

ans=∑s[d]∗(x^d−1)，记s[d]=最大公约数为d的个数，也就是1到n/d以内，互质的对数，显然是欧拉函数的前缀和

s[d]=2*(phi[1]+phi[2]+...+phi[n/d])-1

注意到：d不同，但是n/d一样，也就是s[d]可能有多个相同，比如 10/6 10/7 10/8 10/9 10/10，所以求s[d]相同的项，我们可以用等比公式求和(快速幂+逆元 ),直接进行除法会发生精度误差，所以考虑求逆元 $sum=\frac{a1*(1-q^{n})}{1-q}$

所以我们只要找到每一段s[d]就可以即 r=n/(n/d)，r为最后一个相同s[d]的下标,d为第一个s[d]相同的下标

$sum=x^{d1}+x^{d2}+x^{d3}+x^{d4}+x^{d5}+x^{d6}..........+x^{r}$

$sum=\frac{x^{d}*(1-x^{n})}{1-x}$

由于第一个下标为d,最后一个下标为r,n=(r-d+1)

$sum=\frac{x^{d}*(x^{r-d+1}-1)}{x-1}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+7;
#define mod 1000000007
ll phi[maxn];
void get_phi()
{
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        phi[i]=i;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
        if(phi[i]==i)
        for(int j=i;j<maxn;j+=i)
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);

    for(int i=3;i<maxn;i++)
        phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mod;

    for(int i=2;i<maxn;i++)
        phi[i]=(2*phi[i]+1)%mod;
}
ll quickPow(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=(res*a)%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    get_phi();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll x,n;
        scanf("%lld%lld",&x,&n);
        if(x==1)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll ans=0;
        ll inv=quickPow(x-1,mod-2);//费马小定理求逆元
        for(int i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1)
        {
            ll r=n/(n/i);//闭区间终点，i为闭区间起点
            ll part=((quickPow(x,i)*(quickPow(x,r-i+1)-1)%mod)*inv%mod-(r-i+1)+mod)%mod;//等比数列求和
            ans=(ans+(phi[n/i]*part)%mod+mod)%mod;
        }
        printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}

HDU5780 gcd 欧拉函数

gcd

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