多视几何：齐次坐标

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多视几何：齐次坐标

标签（空格分隔）： 计算机视觉·多视几何

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齐次坐标是多视几何的一个最最基本的概念，非常重要，可以说，几乎所有内容都以此为基础！这里，记录一下齐次坐标的相关内容

注：有些为个人理解，如有不对，还望指出

1.为什么引入齐次坐标

实际上，齐次坐标就是对几何实体的一种表示形式，不同的教材对齐次坐标的引入方式是不同的，但目的是一致的，可以说，引入齐次坐标的主要目的是：

• 为了描述无穷远元素
• 可以使得变换的描述更加简洁，例如，可以将非线性变换用线性变换表示

下面分别描述几何实体–直线和点的齐次表示！

2.直线的齐次表示

考虑平面直线$ax+by+c=0$：

• 不同的$a,b,c$对应不同的直线，所以说，该直线可以用矢量$(a,b,c)^T$表示；
• 另外，对于任何的非零常数$k$，直线$kax+kby+kc=0$和直线$ax+by+c=0$其实表示的是同一条直线；

所以，$k(a,b,c)^T$是直线$ax+by+c=0$的齐次坐标，$k$是非零常数，并且，记直线的齐次坐标为$l$

3.点的齐次表示

考虑平面点$(x,y)$，它位于直线$ax+by+c=0$上，即有$(x,y,1)(a,b,c)^T=0$；

• 这里的$(x,y,1)^T$其实就是该平面点的一个齐次坐标
• 对于任何的非零常数$k$，有$(kx,ky,k)(a,b,c)^T=k(x,y,1)(a,b,c)^T=0$，

所以，$k(x,y,1)^T$是平面点的齐次坐标，并且，记点的齐次坐标为$x$

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注：有时，2D平面点的齐次坐标记为$(x_1,x_2,x_3)$，那么，它对应的非齐次坐标其实为$(\frac{x_1}{x_3},\frac{x_2}{x_3})$

4.点在直线上的齐次表示

平面直线齐次坐标为$l=(a,b,c)$，点齐次坐标为$(x_1,x_2,x_3)$，那么，点位于直线的充要条件为

$$x^Tl=l^Tx=0$$

5.两直线交点

直线$l_1$和$l_2$角点为$x=l_1 \times l_2$，其中，$\times$表示叉乘