齐次坐标系

问题：两条平行线可以相交于一点

在欧氏空间（几何），同一平面的两条平行线不能相交，或永远不能相遇。这是我们都熟悉的常识。

然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：在下图中，火车轨道离我们的视线越远，变得越窄。最后，两条平行线相交于地平线处，即无穷远处的一点。

欧氏空间（或笛卡尔空间）描述 2D / 3D 几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2D 点的笛卡尔坐标可以表示为$\left( x,y \right)$ 。

如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会是$\left( \infty ,\infty \right)$，在欧氏空间，这变得没有意义。平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能。数学家发现了一种方法来解决这个问题。

---

方法：齐次坐标

August Ferdinand Möbius 引入了齐次坐标，使得在透视空间进行图形和几何计算成为可能。齐次坐标是一种使用N+1个数来代表N维坐标的方法。

为了构建 2D 齐次坐标，我们可以在现有笛卡尔坐标基础上，加一个额外的变量 $w$ 。因此，笛卡尔坐标系内的点$\left( X,\,\,Y \right)$ 在齐次坐标系里面变成了 $\left( x,\,\,y,\,\,z \right)$ ，并且有

$$\begin{cases} X=x\,\,/\,\,w\\ Y=y\,\,/\,\,w\\ \end{cases}$$
比如，笛卡尔坐标系下的点（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1）。如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为 $\left( \infty ,\infty \right)$ ，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为 $\left( \text{1/0,2/}0 \right) \approx \left( \infty ,\,\,\infty \right)$ 。注意，我们可以不用 “ $\infty$ “ 来表示一个无穷远处的点了。

---

为什么叫齐次坐标？

如上所述，为了将齐次坐标 $\left( x,\,\,y,\,\,z \right)$ 转化为笛卡尔坐标$\left( X,\,\,Y \right)$ ，只需将 $x$ 和 $y$ 除以 $w$ 即可：

$$\begin{array}{c} \left( x,y,w \right)\\ Homogeneous\\ \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{c} \left( \frac{x}{w},\frac{y}{w} \right)\\ Cartesian\\ \end{array}$$
转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个重要发现，请看下面的例子：
$$\begin{matrix} Homogeneous& Cartesian\\ \end{matrix} \\ \left( \text{1,2,}3 \right) \Longrightarrow \left( \frac{1}{3},\frac{2}{3} \right) \\ \left( \text{2,4,}6 \right) \Longrightarrow \left( \frac{2}{6},\frac{4}{6} \right) =\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3} \right) \\ \left( \text{4,8,}12 \right) \Longrightarrow \left( \frac{4}{12},\frac{8}{12} \right) =\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3} \right) \\ \vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \left( 1a,2a,3a \right) \Longrightarrow \left( \frac{1a}{3a},\frac{2a}{3a} \right) =\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3} \right)$$
你会发现点 (1, 2, 3) , (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应同一个欧氏空间点 (1/3, 2/3)。在欧氏空间中，任何标量乘积，如(1a, 2a, 3a) 对应同一个点 (1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的” （译者注：含有“同类”的意思），因为他们表示欧氏空间（或笛卡尔空间）里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有尺度不变性。

---

证明：两条直线可以相交

考虑欧氏空间中的线性方程组：

$$\begin{cases} Ax+By+C=0\\ Ax+By+D=0\\ \end{cases}$$

我们知道如果C ≠ D，上述方程组无解。如果C=D，两条直线为同一条直线（重叠）。我们在透视空间重写上述方程式，用齐次坐标 $x/w$, $y/w$ 代替$x$ , $y$,

$$\begin{cases} A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+C=0\\ A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+D=0\\ \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} Ax+By+Cw=0\\ Ax+By+Dw=0\\ \end{cases}$$
现在我们有一个解 $\left( x,y,0 \right)$，因为 $\left( C-D \right) w=0$ ，所以 $w=0$ 。因此，两条直线相交于 $\left( x,y,0 \right)$，这个点在无穷远处。

在诸如将 3D 场景投影到 2D 平面的过程中，齐次坐标是一个非常有用和基础的计算机图形学概念。