【现代分析】 2 赋范线性空间（Zen学习笔记）

1  线性空间

满足加法数乘的线性运算

1. 线性包：spanA，
2. 凸包：coA，有限凸组合组成的集合
3. 同构：是双射且
4. 线性流形:线性子空间对某个向量的平移，

 

2  赋范线性空间

 2.1  定义

1. 准范数：[1]正定性：;                                                                                                                 [2]三角不等式：                                                                                                               [3]偶性：                                                                                                                                               [4]连续性：
2. 空间：X是赋准范数空间，若X上距离，则称它为空间；特别地，完备的空间称为空间。
3. 范数：[1]正定性：;                                                                                                                 [2]三角不等式：                                                                                                               [3]齐次性：
4. 空间：赋范线性空间；特别地， 完备的空间称为B(Banach)空间。   

 2.2   Araela-Ascoli 定理

  F是C(M)的一个子集，M是距离空间

1. 一致有界：
2. 等度连续：
3. F列紧F一致有界，等度连续.

 2.3   等价范数

1. 比强：
2. 范数等价：比强且比强

 2.4   有限维空间

1. Riesz引理：是赋范线性空间的真闭子空间，，存在，满足，且对一切，有

2. 局部列紧性：赋范线性空间E是有限维的，当且仅当E中的单位球是列紧的。

3  内积空间

 3.1  定义

 3.2   正交与正交基  

1. 正定性；共轭对称性；共轭齐次性；加法等式。
2. 赋范线性空间能引入内积它的范数满足平行四边形法则
3. 完备的内积空间称为Hilbert空间

• ：集合
• 是内积空间，是的非空子集，注：；；是的闭线性子空间；设是Hilbert空间，则。