title: 串的模式匹配算法之kmp
date: 2018-10-14 10:39:19
tags: 数据结构与算法之美
author: 辰砂tj
1.引言
首先我们需要了解串的模式算法目的：确定主串中所含子串第一次出现的位置（定位）；常见的算法种类：
BF算法（又称古典的、经典的、朴素的、穷举的），KMP算法（特点：速度快）。网上有很多帖子，博客写的都特别好，这篇文章也是对自己的一个总结。
2.BF算法
BF算法设计思想：
将主串的第pos个字符和模式的第一个字符比较
若相等，继续逐个比较后续字符；
若不等，从主串的下一字符起，重新与模式的第一个字符比较。
直到主串的一个连续子串字符序列与模式相等 。
返回值为S中与T匹配的子序列第一个字符的序号，即匹配成功。
否则，匹配失败，返回值 0
1.举例：
假设现在我们面临这样一个问题：有一个文本串S，和一个模式串P，现在要查找P在S中的位置，怎么查找呢？
如果用暴力匹配的思路，并假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置，则有：
如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符；
如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1) （表示主串的位置回到当前的下一个位置），j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为0。
public static int bfMatch(char[] s, char[] p) {
int sLen = s.length;
int pLen = p.length;
int i = 0;
int j = 0;
while (i < sLen && j < pLen) {
if (s[i] == p[j]) {
//①如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++
i++;
j++;
} else {
//②如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0
// i - (j - 1) 表示主串的位置回到当前的下一个位置。
i = i - j + 1;
j = 0;
}
}
//匹配成功，返回模式串p在文本串s中的位置，否则返回-1
if (j == pLen) {
return i - j;
} else {
return -1;
}
}
public static void main(String[] args) {
String s = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";
String p = "ABCDABD";
System.out.println(bfMatch(s.toCharArray(),p.toCharArray()));
}
2.时间复杂度说明：
若n为主串长度，m为子串长度，最坏情况是
主串前面n-m个位置都部分匹配到子串的最后一位，即这n-m位各比较了m次
最后m位也各比较了1次
总次数为：(n-m)*m+m＝(n-m+1)m
若m<<n，则算法复杂度O(nm)
网上有个很好的例子，故引用：
举个例子，如果给定文本串S“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串P“ABCDABD”，现在要拿模式串P去跟文本串S匹配，整个过程如下所示：
1.S[0]为B，P[0]为A，不匹配，执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，S[1]跟P[0]匹配，相当于模式串要往右移动一位（i=1，j=0）
2.S[1]跟P[0]还是不匹配，继续执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，S[2]跟P[0]匹配（i=2，j=0），从而模式串不断的向右移动一位（不断的执行“令i = i - (j - 1)，j = 0”，i从2变到4，j一直为0）
3.直到S[4]跟P[0]匹配成功（i=4，j=0），此时按照上面的暴力匹配算法的思路，转而执行第①条指令：“如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++”，可得S[i]为S[5]，P[j]为P[1]，即接下来S[5]跟P[1]匹配（i=5，j=1）
4.S[5]跟P[1]匹配成功，继续执行第①条指令：“如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++”，得到S[6]跟P[2]匹配（i=6，j=2），如此进行下去
5.直到S[10]为空格字符，P[6]为字符D（i=10，j=6），因为不匹配，重新执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，相当于S[5]跟P[0]匹配（i=5，j=0）
6.至此，我们可以看到，如果按照暴力匹配算法的思路，尽管之前文本串和模式串已经分别匹配到了S[9]、P[5]，但因为S[10]跟P[6]不匹配，所以文本串回溯到S[5]，模式串回溯到P[0]，从而让S[5]跟P[0]匹配。
而S[5]肯定跟P[0]失配。为什么呢？因为在之前第4步匹配中，我们已经得知S[5] = P[1] = B，而P[0] = A，即P[1] != P[0]，故S[5]必定不等于P[0]，所以回溯过去必然会导致失配。那有没有一种算法，让i 不往回退，只需要移动j 即可呢？
3.KMP算法（主串指针不回溯）
算法思想：利用已经部分匹配的结果而加快模式串的滑动速度？且主串S的指针i不必回溯！可提速到O(n+m)！
算法步骤：
下面先直接给出KMP的算法流程：
假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置
如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；
如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。
换言之，当匹配失败时，模式串向右移动的位数为：失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值（next 数组的求解会在下文的3.3.3节中详细阐述），即移动的实际位数为：j - next[j]，且此值大于等于1。
很快，你也会意识到next 数组各值的含义：代表当前字符之前的字符串中，有多大长度的相同前缀后缀。例如如果next [j] = k，代表j 之前的字符串中有最大长度为k 的相同前缀后缀。
此也意味着在某个字符失配时，该字符对应的next 值会告诉你下一步匹配中，模式串应该跳到哪个位置（跳到next [j] 的位置）。如果next [j] 等于0或-1，则跳到模式串的开头字符，若next [j] = k 且 k > 0，代表下次匹配跳到j 之前的某个字符，而不是跳到开头，且具体跳过了k 个字符。
public static int kmpMatch(char[] s, char[] p) {
int sLen = s.length;
int pLen = p.length;
int i = 0;
int j = 0;
while (i < sLen && j < pLen) {
if (s[i] == p[j]) {
//①如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++
i++;
j++;
} else {
j = next[j];
}
}
//匹配成功，返回模式串p在文本串s中的位置，否则返回-1
if (j == pLen) {
return i - j;
} else {
return -1;
}
}
为此,定义next[j]函数，表明当模式中第j个字符与主串中相应字符“失配”时，在模式中需重新和主串中该字符进行比较的字符的位置。
1.如何求next()?
1.寻找前缀后缀最长公共元素长度
比如 字符串 ‘a’ 的前缀就是为空，后缀也是为空，所以前缀后缀的意思，是不包括当前字符串，字符串 ‘ab’ 的前缀是a，后缀是b。
定义： 对于P = p0 p1 …pj-1 pj，寻找模式串P中长度最大且相等的前缀和后缀。如果存在p0 p1 …pk-1 pk = pj- k pj-k+1…pj-1 pj，那么在包含pj的模式串中有最大长度为k+1的相同前缀后缀。
比如：
| j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | b | c | a | a | b | c | a | b | c | a | a | a | b | d | a | b |
| 前后缀最长公共元素 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 2 | 0 | 1 | 2 |
2.求next数组
next 数组考虑的是除当前字符外的最长相同前缀后缀，所以通过第①步骤求得各个前缀后缀的公共元素的最大长度后，只要稍作变形即可：将第①步骤中求得的值整体右移一位，然后初值赋为-1，如下表格所示：
| j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | b | c | a | a | b | c | a | b | c | a | a | a | b | d | a | b |
| next[j] | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 2 | 1 | 2 |
3.如何求next函数值
- next[1] = 0;表明主串从下一字符si+1起和模式串重新开始匹配。i = i+1; j = 1;
- 设next[j] = k，则next[j+1] = ?
①若pk=pj，则有“p1…pk-1pk”=“pj-k+1…pj-1pj” ，如果在
j+1发生不匹配，说明next[j+1] = k+1 = next[j]+1。
②若pk≠pj，可把求next值问题看成是一个模式匹配问
题，整个模式串既是主串，又是子串。
若pk’=pj，则有“p1…pk’”=“pj-k’+1…pj”，
next[j+1]=k’+1=next[k]+1=next[next[j]]+1.
若pk”=pj ，则有“p1…pk””=“pj-k”+1…pj”，
next[j+1]=k”+1=next[k’]+1=next[next[k]]+1.
next[j+1]=1.
4.总结
核心的点在于：以前的bf算法是需要i进行回溯，导致时间复杂度O(m*n) ,现在kmp算法的核心是i不进行回溯，而j这个值不确定，根据串的规律，主串前面匹配成功的串前缀和后缀相等的地方不需要匹配即可。这样的时间复杂度是O(m + n)
引用博客例子：
1.最开始匹配时
P[0]跟S[0]匹配失败
所以执行“如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，所以j = -1，故转而执行“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”，得到i = 1，j = 0，即P[0]继续跟S[1]匹配。
P[0]跟S[1]又失配，j再次等于-1，i、j继续自增，从而P[0]跟S[2]匹配。
P[0]跟S[2]失配后，P[0]又跟S[3]匹配。
P[0]跟S[3]再失配，直到P[0]跟S[4]匹配成功，开始执行此条指令的后半段：“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”。
2.P[1]跟S[5]匹配成功，P[2]跟S[6]也匹配成功, …，直到当匹配到P[6]处的字符D时失配（即S[10] != P[6]），由于P[6]处的D对应的next 值为2，所以下一步用P[2]处的字符C继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j - next[j] = 6 - 2 =4 位。
3.向右移动4位后，P[2]处的C再次失配，由于C对应的next值为0，所以下一步用P[0]处的字符继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j - next[j] = 2 - 0 = 2 位。
4.移动两位之后，A 跟空格不匹配，模式串后移1 位。
5.P[6]处的D再次失配，因为P[6]对应的next值为2，故下一步用P[2]继续跟文本串匹配，相当于模式串向右移动 j - next[j] = 6 - 2 = 4 位。
6.匹配成功，过程结束。
匹配过程一模一样。也从侧面佐证了，next 数组确实是只要将各个最大前缀后缀的公共元素的长度值右移一位，且把初值赋为-1 即可。
代码如下：
void get_next(SString T, int &next[])
{
i= 1; next[1] = 0; j = 0;
while( i<T[0]){
if(j==0 || T[i] == T[j]){
++i; ++j;
next[i] = j;
}
else
j = next[j];
}
}
kMP算法的时间复杂度
设主串s的长度为n,模式串t长度为m,在KMP算法中求next数组的时间复杂度为O(m),在后面的匹配中因主串s的下标不减即不回溯,比较次数可记为n,所以KMP算法总的时间复杂度为O(n+m)
参考原文：https://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7041827?utm_source=copy