串的模式匹配 : KMP算法

当存在 [1] 这样的现象，[2] 这样的做法，是否合理以及正确，或者有 [1] 这样的现象，为什么就可以有 [2] 这样的做法 ？

算法思想

[1] 当主串的第i个字符与子串的第j个字符失配时，若子串的前(k-1)个字符和子串的后(k-1)个字符匹配，‘p₁……p_k-1’=‘p_j-k+1……p_j-1’，则只需主串 S 的第 i 个字符与子串 P 的第 k 个字符开始向后比较即可，i 不必回溯。
[2] k的值只与子串的组成有关，而与主串无关，即 k 值与 j 失配位置之前的子串的结构相关，每一个 j 位置对应一个k值，用next[j]存储，表示当模式串中第 j 个字符与主串中第 i 个字符失配时( S_i ≠ P_j) ，下一次模式串 P 中第next[j]个字符与主串 S 的第i个字符比较。

简而言之

若子串中，‘p₁……p_k-1’=‘p_j-k+1……p_j-1’，则在 j 处的失配，i 不回溯，直接和子串的 k 位置比较即可，k位置用 next[j] 存储。

问题提出

其实，算法思想中[1]是现象，也就是子串中需要存在这样的前后缀相等时，[2]是做法，表示在失配的位置 j ，模式串应该向右滑动 k 距离。那么当存在这样的现象，这样的做法，是否合理以及正确？或者有 [1] 这样的现象，为什么就可以有 [2] 这样的做法 ？很多地方的讲解都是利用这样的做法去解释现象，或者因为有这样的现象，就可以有这样的做法，没有揭露根本的本质原因，发现自然规律，然后利用自然规律去做一件巧妙的事情得到了很好的结果，但还是要解释清楚这样的这样的规律是如何带来这样巧妙的结果的。

数学证明

[1] 朴素的串匹配算法
[2] KMP算法证明
证明思想：在 j 处失配，下一次直接让 next[j]=P_k 和 i 匹配，则需要证明 S_i-j+2，…， S_i-k这 j-k-1 个数不用再和P₀比较（即一定会匹配失败），直接让P₁和S_i-k+1进行比较，即P_k与S_i进行比较。
根据已知条件得到：

递推推导

求解next[j] 数组

求解的思想就是数学证明的思想，利用递推来求解：
(相等，不相等（相等，不相等（相等，不相等（…）））)
已知next[1]=0,next[j]=k，如何由next[j]求得next[j+1]?（得到一个递推式）
1^o若P[j] == P[next[j]]，则next[j+1] = k+1(即next[j+1] = next[j]+1)；

2^o 若P[j]≠P[next[j]]，则令P[j]和P[next[next[j]]]比较:
若相等，则next[j+1] = next[next[j]]+1；
若不等，则沿失败链继续查找，直到某个P[next[…next[j]…]] == P[j]，或next[…next[j]…]==0，这时都置next[j+1] = next[…next[j]…]+1。

代码实现：
已知：next[1]=0；设设next[j]=k，则1<k<j，满足：‘p₁……p_k-1’=‘p_j-k+1……p_j-1’
1、若p_k == p_j，则next[j+1]= next[j]+1；
2、若p_k≠ p_j，此时看作模式串作为子串与自身在第k位失配，应从next[k]位开始与j位比较，若p_next[k] ≠ p_j，即重复 2 直至相等或初始条件next[1]=0；若p_next[k] = p_j ，则next[j+1]=next[k]+1。

int Get_Index(sstring T, int next[]) {
//求模式串T的next函数值并存入数组next
  i=1;  next[1]=0;  j=0;
  while(i<=Strlength(T)) {
        if ( j==0 || T[i]==T[j]) {++i; ++j;next[i]=j;}
        else  j=next[j]; 
  }
} // Get_Index

注：可能存在next[j+1]与next[j]相等，故在p_k= p_j时改为next[j+1]＝next[j]，则代码改进如下：

int Get_Index(sstring T, int next[]) {
//求模式串T的next函数值并存入数据next
  i=1;  next[1]=0;  j=0;
  while(i<=Strlength(S) && j<=Strlength(T)) {
        if ( j==0 || T[i]==T[j]) {
		++i; ++j;
		if (T[i]!=T[j])  next[i]=j
		else  next[i]=next[j];
        else  j=next[j]; 
	    }
  }
} // Get_Index

KMP代码实现

int Index(sstring S,sstring T,int pos) {
//返回子串T在主串S中从第pos个字符开始的位置
//要求T非空，1≤pos ≤Strlength(S)
  i=pos;  j=1;
  while(i<=Strlength(S) && j<=Strlength(T)) {
        if (S[i]==T[j]) {++i; ++j;}
        else {j=next[j];} 
  }
  if (j> Strlength(T))  return  (i-Strlength(T));
  	    return 0;
} // Index