线性时不变系统的卷积

任何离散时间信号都可以看成是由离散时间单位脉冲组成的。

$\tag{1} x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$
这个式子相当于把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 $\delta[n-k]$ 的线性组合，而这个线性组合中的系数就是 $x[k]$ 。

由线性系统的可加性，我们可以得到，一个线性时不变系统对 $x[k]$ 的响应就是系统对这些移位单位脉冲的响应的加权叠加。

另一方面，由于是时不变系统，系统对移位脉冲的响应也就是对未移位脉冲响应的移位。

若令 $h_k[n]$ 表示该线性系统对移位单位脉冲 $\delta[n-k]$ 的响应，那么该线性系统对输入 $x[n]$ 的响应 $y[n]$ 就是这些基本响应的加权线性组合。
$\tag{2} y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h_k[n]$

如果该系统也是时不变的，那么这些对移位单位脉冲的响应也都是互相之间作了移位。具体来说，因为 $\delta[n-k]$ 是 $\delta[n]$ 的时间移位，响应 $h_k[n]$ 也就是 $h_0[n]$ 的一个时移，即

$\tag{3} h_k[n] = h_0[n-k]$

为了简化符号，我们将 $h_0[n]$ 的下标去掉，定义单位脉冲序列响应为：

$\tag{4} h[n] = h_0[n]$

这样 (2) 式就变成
$\tag{5} y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$

这个结果被称为卷积和，并且 (5) 式右边的运算称为 $x[n]$ 和 $h[n]$ 的卷积，并用符号记作
$\tag{6} y[n] = x[n] * h[n]$

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例 1
例 2
如果我们要对某个特定的 $n$ 求 $y[n]$ ，我们还可以将信号 $x[k]$ 和 $h[n-k]$ 都看成是 $k$ 的函数，将它们相乘就得到序列 $g[k] = x[k]h[n-k]$ ，它可看成在每一个时刻 $k$ ，输入 $x[k]$ 对输出在时刻 $n$ 做出的贡献，然后将 $g[k]$ 序列中的样本值相加就是在所选时刻 $n$ 的输出值。

$\tag{7} x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$
与离散情况一样，式 (7) 为连续时间冲激函数的筛选性质，任何连续时间信号都可以用上式来表示。

与离散时间情况下的卷积和相对应，一个连续时间线性时不变系统的特性可以用它的单位冲激响应来刻画。
$\tag{8} y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$
式 (8) 称为卷积积分或叠加积分。

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