时不变线性系统和时变线性系统方程的对角化

【时不变线性系统】

时不变线性系统的方程为：   , 其中和均为常数矩阵。

由代数知识可以知道，如果有n个线性无关的特征向量，那么可以把对角化。这时存在非奇异矩阵使得： 为对角阵。

于是做变换： 系统方程变为：  ,完成了对角化。

由此可见：时不变线性系统方程的对角化必须要求：A有n个线性无关的特征向量。

【时变线性系统】

时不变线性系统的方程为：   , 其中和均为时变矩阵。

我们假设存在一个可逆矩阵，并做变换：，那么有：

我们的目的是使得该方程有对角形式，即要使得：为一个对角矩阵。

我们设是一个 的对角矩阵，它的每个分量都是连续的。并令：

由这个方程得到：

这实际上是一个包含个方程的线性方程组。任意给定对角矩阵，只要它的各个分量是连续的，这个方程组总是有解的，因此总是可以找到满足条件的，让原方程变成对角形式。

由此可见：时变线性系统方程的对角化，反而比时不变线性系统更简单，不管是怎样的矩阵，只要各个矩阵分量连续，对角化总是能做的。