线性系统的能控性

一、引言

$\{\begin{array}{l}能控性：分析u(t)对状态x(t)的控制能力\\ 能观性：输出y(t)对状态x(t)的反映能力\end{array}$

二、能控性

线性连续定常系统：$\dot{x}=Ax+Bu$

如果存在一个分段连续的输入 $u(t)$，能在有限时间区间 $[t_0,t_f]$ 内，使系统由某一初始状态 $x(t_0)$，转移到指定的任一终端状态 $x(t_f)$，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，$则称此系统是状态完全能控的$，或简称系统是能控的。

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线性定常离散系统：$x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)$
初始状态为 $x(0)$，利用递推法

$k=0$	$x(1)=Gx(0)+Hu(0)$
$k=1$	$x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G^{2}x(0)+GHu(0)+Hu(1)$
$k=2$	$x(3)=Gx(2)+Hu(2)=G^{3}x(0)+G^{2}Hu(0)+GHu(1)+Hu(2)$
$⋮$	$⋮$
$k=n-1$	$x(n)=G^{n}x(0)+G^{n-1}Hu(0)+G^{n-2}Hu(1)+\cdots +GHu(n-2)+Hu(n-1)$

若系统是能控的，则应在 $k=n-1$ 时，从上式解得 $u(0),u(1),\cdots ,u(n-1)$，使 $x(n)=0$，从而有

$G^{n-1}Hu(0)+G^{n-2}Hu(1)+\cdots +GHu(n-2)+Hu(n-1)=-G^{n}x(0)$
即 $\left(\begin{array}{ccccc}{G}^{n-1}H,& G^{n-2}H,& \cdots ,& GH,& H\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u(0)\\ u(1)\\ ⋮\\ u(n-2)\\ u(n-1)\end{array}\right)=-G^{n}x(0)$

故方程组有解得充分必要条件是能控性矩阵 $M=\left(\begin{array}{ccccc}H,& GH,& \cdots ,& G^{n-2}H,& G^{n-1}H\end{array}\right)$ 的秩等于 $n$。