文字描述
用连通网来表示n个城市及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。对于n个定点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。现在，我们要选择这样一个生成树，使总的耗费最少。这个问题就是构造连通网的最小代价生成树(Minimum Cost Spanning Tree: 最小生成树)的问题。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。
有多种算法可以构造最小生成树，其他多数都利用的最小生成的MST(minimum spanning tree)性质: 假设N={V, {E}}是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值(代价)的边，其中u属于U， v属于V-U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。 该性质可以用反证法证明。
现介绍普里姆(Prim)算法是如何利用MST性质求连通图的最小生成树的：
假设N={V,{E}}是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0} (u0属于V， TE={})开始，重复执行下述操作：在所有u属于U， v属于V-U 的边(u,v)属于E 中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。
为实现这个算法需附设一个辅助数组closeedge, 以记录从U到V-U具有最小代价的边。对每个属于V-U的顶点vi ，在辅助数组中存在一个相应分量closedge[i-1],它包括两个域：
1：lowcose：存储该边上的权； 显然closedge[i-1].lowcost = Min{cost(u,vi) | u属于U}
2：vex: 存储该边依附的U中的顶点。
示意图
算法分析
在代码实现中的MinSpanTree_PRIM函数中。若网中有n个顶点， 则第一个初始化的循环语句的频度为n，第二个循环语句的频度为n-1；其中第二个循环中有两个内循环：其一是在 closedge[v].lowcost中求最小值，其频度为n-1；其二是重新选择具有最小代价的边，其频度为n。由此，普里姆算法的时间复杂度为n^2, 与网中的边数无关，因此使用适用于求边稠密的网的最小生成树。
代码实现
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <string.h> 4 5 #define DEBUG 6 7 #ifdef DEBUG 8 #include <stdarg.h> 9 #define LOG(args...) _log_(__FILE__, __FUNCTION__, __LINE__, ##args); 10 void _log_(const char *file, const char *function, int line, const char * format, ...) 11 { 12 char buf[1024] = {0}; 13 va_list list; 14 va_start(list, format); 15 sprintf(buf, "[%s,%s,%d]", file, function, line); 16 vsprintf(buf+strlen(buf), format, list); 17 sprintf(buf+strlen(buf), "\n"); 18 va_end(list); 19 printf(buf); 20 } 21 #else 22 #define LOG 23 #endif // DEBUG 24 25 #define INFINITY 100000 //最大值 26 #define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点数 27 28 //---------邻接矩阵的存储结构----------------------------------------- 29 30 ////////////////////////////////////////////////////////////// 31 // 邻接矩阵作为图的存储结构 32 ////////////////////////////////////////////////////////////// 33 typedef enum {DG, DN, UDG, UDN} GraphKind; //{有向图，有向网，无向图，无向网} 34 typedef int VRType; 35 typedef char VertexType; //顶点类型 36 typedef struct{ 37 char note[10]; 38 }InfoType; 39 typedef struct ArcCell{ 40 VRType adj; //顶点关系类型：1)对无权图，用1或0表示相邻否；2)对带权图，则为权值类型 41 InfoType *info; //该弧相关信息的指针 42 }ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; 43 typedef struct{ 44 VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量 45 AdjMatrix arcs; //邻接矩阵 46 int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和弧数 47 GraphKind kind; //图的种类标志 48 }MGraph; 49 50 51 //---------采用邻接矩阵创建无向网----------------------------------------- 52 53 ////////////////////////////////////////////////////////////// 54 // 若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中位置；否则返回-1。 55 ////////////////////////////////////////////////////////////// 56 int LocateVex(MGraph G, VertexType v){ 57 int i = 0; 58 for(i=0; i<G.vexnum; i++){ 59 if(G.vexs[i] == v){ 60 return i; 61 } 62 } 63 return -1; 64 } 65 66 67 ////////////////////////////////////////////////////////////// 68 // 采用数组表示法(邻接矩阵)，构造无向网 69 ////////////////////////////////////////////////////////////// 70 int CreateUDN(MGraph *G) 71 { 72 printf("\n创建一个无向网(带权):\n"); 73 int i = 0, j = 0, k = 0, IncInfo = 0; 74 int v1 = 0, v2 = 0, w = 0; 75 char tmp[10] = {0}; 76 printf("输入顶点数，弧数，其他信息标志位: "); 77 scanf("%d,%d,%d", &G->vexnum, &G->arcnum, &IncInfo); 78 for(i=0; i<G->vexnum; i++) 79 { 80 printf("输入第%d个顶点: ", i+1); 81 memset(tmp, 0, sizeof(tmp)); 82 scanf("%s", tmp); 83 G->vexs[i] = tmp[0]; 84 } 85 for(i=0; i<G->vexnum; i++) 86 { 87 for(j=0; j<G->vexnum; j++) 88 { 89 G->arcs[i][j].adj = INFINITY; 90 G->arcs[i][j].info = NULL; 91 } 92 } 93 for(k=0; k<G->arcnum; k++) 94 { 95 printf("输入第%d条弧: 弧尾, 弧头，权值: ", k+1); 96 memset(tmp, 0, sizeof(tmp)); 97 scanf("%s", tmp); 98 sscanf(tmp, "%c,%c,%d", &v1, &v2, &w); 99 i = LocateVex(*G, v1); 100 j = LocateVex(*G, v2); 101 G->arcs[i][j].adj = w; 102 if(IncInfo){ 103 // 104 } 105 G->arcs[j][i] = G->arcs[i][j]; 106 } 107 return 0; 108 } 109 110 int CreateGraph(MGraph *G) 111 { 112 printf("输入图类型: -有向图(0), -有向网(1), -无向图(2), +无向网(3): "); 113 scanf("%d", &G->kind); 114 switch(G->kind) 115 { 116 case DG: 117 case DN: 118 case UDG: 119 printf("还不支持!\n"); 120 return -1; 121 case UDN: 122 return CreateUDN(G); 123 default: 124 return -1; 125 } 126 } 127 128 129 ////////////////////////////////////////////////////////////// 130 // 打印邻接矩阵中的信息 131 ////////////////////////////////////////////////////////////// 132 void printG(MGraph G) 133 { 134 printf("\n打印邻接矩阵:\n"); 135 if(G.kind == DG){ 136 printf("类型：有向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum); 137 }else if(G.kind == DN){ 138 printf("类型：有向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum); 139 }else if(G.kind == UDG){ 140 printf("类型：无向图；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum); 141 }else if(G.kind == UDN){ 142 printf("类型：无向网；顶点数 %d, 弧数 %d\n", G.vexnum, G.arcnum); 143 } 144 int i = 0, j = 0; 145 printf("\t"); 146 for(i=0; i<G.vexnum; i++) 147 printf("%c\t", G.vexs[i]); 148 printf("\n"); 149 for(i=0; i<G.vexnum; i++){ 150 printf("%c\t", G.vexs[i]); 151 for(j=0; j<G.vexnum; j++){ 152 if(G.arcs[i][j].adj == INFINITY){ 153 printf("INF\t"); 154 }else{ 155 printf("%d\t", G.arcs[i][j].adj); 156 } 157 } 158 printf("\n"); 159 } 160 } 161 162 163 //---------求最小生成树的算法。(普里姆算法)----------------------------------------- 164 165 ////////////////////////////////////////////////////////////// 166 // 定义辅助数组CloseEdge： 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组。 167 ////////////////////////////////////////////////////////////// 168 struct Edge{ 169 VertexType adjvex; 170 VRType lowcost; 171 }CloseEdge[MAX_VERTEX_NUM]; 172 173 ////////////////////////////////////////////////////////////// 174 // 返回辅助数组中， 权值最小的顶点的位置。 175 ////////////////////////////////////////////////////////////// 176 int minimum(struct Edge edgelist[], int count) 177 { 178 int ret = -1; 179 int min = INFINITY; 180 int i = 0; 181 for(i=0; i<count; i++) { 182 if ((edgelist[i].lowcost) && (edgelist[i].lowcost < min)) { 183 ret = i; 184 min = edgelist[i].lowcost; 185 } 186 } 187 return ret; 188 } 189 190 ////////////////////////////////////////////////////////////// 191 // 采用普里姆算法求最小生成树的算法。 192 ////////////////////////////////////////////////////////////// 193 void MinSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType v) 194 { 195 printf("\n采用普里姆算法求邻接矩阵存储的带权的无向网的最小生成树,所求最小生成树的边依次为:\n"); 196 int k = -1; 197 int i = 0; 198 int j = 0; 199 k = LocateVex(G, v); 200 //辅助数组初始化 201 for(j=0; j<G.vexnum; j++){ 202 if(j!=k) 203 { 204 CloseEdge[j].adjvex = v; 205 CloseEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj; 206 } 207 } 208 //初始状态下， U={v} 209 CloseEdge[k].lowcost = 0; 210 //选择其余的G.vexnum-1个顶点 211 for(i=1; i<G.vexnum; i++) 212 { 213 //求出T的下一个结点，第k个顶点 214 k = minimum(CloseEdge, G.vexnum); 215 //输出生成树的边 216 printf("%c, %c\n", CloseEdge[k].adjvex, G.vexs[k]); 217 //第k个顶点并入U集合 218 CloseEdge[k].lowcost = 0; 219 //新顶点并入U后重新选择最小边。 220 for(j=0; j<G.vexnum; j++){ 221 if(G.arcs[k][j].adj < CloseEdge[j].lowcost){ 222 CloseEdge[j].adjvex = G.vexs[k]; 223 CloseEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj; 224 } 225 } 226 } 227 } 228 229 int main(int argc, char *argv[]) 230 { 231 MGraph G; 232 if(CreateGraph(&G) > -1) 233 printG(G); 234 MinSpanTree_PRIM(G, G.vexs[0]); 235 return 0; 236 }
代码运行
/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled 输入图类型: -有向图(0), -有向网(1), -无向图(2), +无向网(3): 3 创建一个无向网(带权): 输入顶点数，弧数，其他信息标志位: 6,10,0 输入第1个顶点: a 输入第2个顶点: b 输入第3个顶点: c 输入第4个顶点: d 输入第5个顶点: e 输入第6个顶点: f 输入第1条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,a,1 输入第2条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,b,5 输入第3条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,d,5 输入第4条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,e,6 输入第5条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,f,4 输入第6条弧: 弧尾, 弧头，权值: a,b,6 输入第7条弧: 弧尾, 弧头，权值: b,e,3 输入第8条弧: 弧尾, 弧头，权值: e,f,6 输入第9条弧: 弧尾, 弧头，权值: f,d,2 输入第10条弧: 弧尾, 弧头，权值: d,a,5 打印邻接矩阵: 类型：无向网；顶点数 6, 弧数 10 a b c d e f a INF 6 1 5 INF INF b 6 INF 5 INF 3 INF c 1 5 INF 5 6 4 d 5 INF 5 INF INF 2 e INF 3 6 INF INF 6 f INF INF 4 2 6 INF 采用普里姆算法求邻接矩阵存储的带权的无向网的最小生成树,所求最小生成树的边依次为: a, c c, f f, d c, b b, e Process finished with exit code 0