【题解】Luogu P2014 选课

Problem

树上背包问题的典例，记下来

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solution

设\(dp[x][t]\)表示以\(x\)为子树，选\(t\)门课获得的最大学分

设\(p\)是\(x\)的子节点数量，\(c_i\)是\(x\)的子节点\(y_i\)选修的课数

转移方程如下

\[dp[x][t]=max_{\sum_{i=1}^pc_i=t-1}\{\sum_{i=1}^pdp[y_i][c_i]\}+pnt[x]\]

事实上，这是一个分组背包模型，对于每个节点\(x\)，每个子节点\(y_i\)是一个组，在其中选取不超过\(1\)个元素\(c_i\)加入背包。将当前枚举到的组作为阶段

对于没有先修课的课程，我们可以将一个超级根节点\(0\)作为它们的父节点，方便计算

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#define maxn 305
#define maxm 305
using namespace std;
typedef long long ll;

int n,m;
vector<int> son[maxn];
int prt[maxn];
int pnt[maxn];
int dp[maxn][maxm];

void DP(int u)
{
    for(register int i=0;i<son[u].size();++i)//阶段，选取了第几组
    {
        int v=son[u][i];
        DP(v);
        for(register int t=m;t>=0;--t)//枚举背包已经放入的体积
            for(register int j=t;j>=0;--j)//枚举组内加入的物品，枚举顺序在本题中并无影响，倒叙枚举原因待探究
                dp[u][t]=max(dp[u][t],dp[u][t-j]+dp[v][j]);
    }
    if(u!=0)//除超级根节点外，每个节点的选取都会获得pnt[u]的学分
        for(register int t=m;t>0;--t)
            dp[u][t]=dp[u][t-1]+pnt[u];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int k;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&k,&pnt[i]);
        prt[i]=k;
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        son[prt[i]].push_back(i);
    DP(0);
    printf("%d",dp[0][m]);
    return 0;
}