P2014 选课[树形背包DP]

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2014

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树形背包的裸题。。当版子好了。

$f[i][j][k]$表示子树$i$选前$j$个孩子，共$k$个后代节点时的最大价值。然后$j$那一维是可以滚动的（但同时也要注意枚举变成了倒序），所以可以去掉。

$f[i][j]$表示子树$i$共选$k$个后代节点时的最大价值。

然后每个点可以抽象为一个背包，他的每个孩子包含一组物品，一组物品中包括以孩子为子树，选v个其后代节点形成的最大价的共v+1个物品（1指的是只有孩子自己）。对于每个孩子，只能选他的一种状态情形，或者不选。所以就是一个分组背包啦。

但是注意，子树的根必须强制选上。所以可以以他为初态，也就是后代节点=0的状态。写一下伪代码。

$dp$  $i$

$f_{i,0}=w_i$初态

$for$  $j=1$～$son_i$

　　$for$  $k=sum_j -1～1$

　　　　$for$  $v=0$～$sum_j -1$

　　　　　　$if$  $v+1\leqslant k$

　　　　　　　　$f_{i,k}=max\{f_{i,k-v-1}+f_{j,v}\}$

然后复杂度由于是每个点都被考虑一次的，最坏是$O(n^3)$。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<queue>
 7 #define dbg(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
 8 #define ddbg(x,y) cerr<<#x<<" = "<<x<<"   "<<#y<<" = "<<y<<endl
 9 using namespace std;
10 typedef long long ll;
11 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
12 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
13 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
14 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
15 template<typename T>inline T read(T&x){
16     x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
17     while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
18 }
19 const int N=300+7;
20 int f[N][N],Head[N],Next[N<<1],v[N<<1],w[N],sum[N],tot;
21 int n,m;
22 inline void Addedge(int x,int y){
23     v[++tot]=y,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot;
24     v[++tot]=x,Next[tot]=Head[y],Head[y]=tot;
25 }
26 void dp(int i,int fa){
27     sum[i]=1;
28     for(register int tmp=Head[i],j=v[tmp];tmp;tmp=Next[tmp],j=v[tmp])if(j!=fa)dp(j,i),sum[i]+=sum[j];
29     f[i][0]=w[i];
30     for(register int tmp=Head[i],j=v[tmp];tmp;tmp=Next[tmp],j=v[tmp])if(j!=fa){
31         for(register int k=sum[i]-1;k;--k){
32             for(register int v=0;v<=sum[j]-1;++v)
33                 if(v+1<=k)MAX(f[i][k],f[i][k-v-1]+f[j][v]);
34         }
35     }
36 }
37 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout);
38     read(n),read(m);int x;
39     for(register int i=1;i<=n;++i)read(x),read(w[i]),Addedge(x,i);
40     dp(0,0);printf("%d\n",f[0][m]);
41     return 0;
42 }