图论(二)——子图、图运算、路与连通性

一、子图

• 子图——如果 $V(H)∈V(G),E(H)∈E(G)$，且H中边重数不超过G中对应边重数，则称H是G的子图
• 点导出子图——假设 $V'∈V$，则 $V'$及两端点都在 $V'$中的边合起来为点导出子图
• 边到处子图——假设 $E'∈E$，则 $E'$及其边顶点合起来为边导出子图
• 简单图的生成子图（包含原图所有顶点，边不管，若边数为m，则不同的生成子图有 $2^m$个，不同的生成子图≠不同构）

二、图运算

• 删点运算：若 $V'∈V(G)$，删除 $V'$和与其连接的边，记为 $G-V'$
• 删边运算：若 $E'∈V(E)$，删除 $E'$，记为 $G-E'$
• 并运算：两张图所有顶点、边合在一起，重复的记一个。若两张图完全不同， $G_1∪G_2=G_1+G_2$
• 交运算：两张图的共同点和边
• 差运算： $G_1$中减去 $G_2$中的边，记为 $G_1-G_2$
• 对称差运算（环和运算）： $G_1 \oplus G_2=G_1 \bigtriangleup G_2=(G_1 \cup G_2)-(G_1 \cap G_2)=(G_1-G_2) \cup (G_2-G_1)$
• 联运算：将不相交的 $G_1$和 $G_2$图并起来，把 $G_1$中每个顶点和 $G_2$中每个顶点连起来，记为 $G_1 \vee G_2$
• 积图： $G_1=(V_1, E_1), G_2=(V_2, E_2)$，对点集 $V=V_1*V_2中任意两个点u=(u_1, u_2)和v(v_1, v_2)$，当其中一个点相同，另一个点相邻时连接起来的图 $G=G_1*G_2$
• 合成图： $G_1=(V_1, E_1), G_2=(V_2, E_2)$，对点集 $V=V_1*V_2中任意两个点u=(u_1, u_2)和v(v_1, v_2)$，当 $u_1和v_1$相邻或者 $u_1=v_1,u_2和v_2相邻$时将 $u,v$连接起来的图 $G=G_1[G_2]$

运算	点的数目	边数目
$G_1+G_2$	$n_1+n_2$	$m_1+m_2$
$G_1\vee G_2$	$n_1+n_2$	$m_1+m_2+n_1n_2$
$G_1*G_2$	$n_1n_2$	$n_1m_2+n_2m_1$
$G_1[G_2]$	$n_1n_2$	$n_1m_2+n_2^2m_1$

三、路与连通性