欧拉函数phi(n)表示的是1到n当中与n互质的数的个数。
假设n=m*p，（p为n的随机1个质因子）
当m%p=0时，phi(n)=phi(m)*p
当m%p!=0时，phi(n)=phi(m)*(p-1)
根据质因数分解定理，n至少可以分解出一个素数p，使得n = p*m。
我们可以将1到n的这个范围划分为一个区间的集合{[m*(i-1),m*i],1<=i<=p}，则对于每个区间[m*(i-1)+1,m*i ]，其中的每个数可以看成是m*(i-1)+j(1<=j<=m)。
根据辗转相除法，可以得出gcd(m*(i-1)+j,m)=gcd(m,(m*(i-1)+j)%m)=gcd(m,j)
从上面的结论，我们可以看出，每个区间对应的某个数对m取模均与0到m-1中的某个数相同，所以1到n当中与m互质的数有p*phi(m)个。
如果m%p=0，假设m=k*p（k为一个正整数），gcd(b,m)=1，由于p是m的一个因子，如果b和m不存在公共因子的话，那么b和p也肯定不存在公共因子，因此可以得出gcd(b,p)=1，两者组合起来可得：gcd(m*p,b)=gcd(n,b)=1，所以在这种情况下，1到n范围内与m互质的数均与n互质，所以便可得出phi(n) = phi(m)*p;
如果m%p!=0，我们从gcd(b,m)=1的这个条件当中不能够得到gcd(b,p)=1的这个条件，由于p是素数，p的因子只有两个：1和p，所以gcd(b,p)也就只有两个可能出现的值：1或p，假设存在gcd(b,m)=1，gcd(b,p)=p的这样一种情况，由于m%p!=0，表明m的因子当中不含有p，所以gcd(n,b)=p。在1到n当中，满足gcd(b,m)=1和gcd(b,p)=p这两个条件的数，只能是与m互质并且是p的倍数的数，因此便有phi(m)个数满足这两个条件，所以phi(n)=phi(m)*p-phi(m)=phi(m)*(p-1)。