欧拉函数（定义+性质+证明+模板）

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欧拉函数的定义:

在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。

φ函数的值：

φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x

的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。

例如:

φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;

1 3 7 9

φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;

φ(49)=49×(1-1/7)=42;

欧拉函数的性质：

(1) p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

对于任何两个互质的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

欧拉函数相关的证明：

(1) p^k型的欧拉函数的证明：

对于给定的一个素数p: φ(p)=p-1 那么容易证明φ(n)=p^k-p^(k-1)

已知少于或等于p^k的正整数的个数为p^k-1,其中和p^k不互质的正整数有{ p×1,p×2,...,p×(p^(k-1)-1)}，共计p^(k-1)-1个

故: φ(n) = p^k-1-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1)。

(2) mn型的欧拉函数的证明:

因为:x=mn m与n互质(即:gcd(m,n)=1);根据中国剩余定理Z(x)和Z(m)×Z(n)之间存在一一映射，所以x的完全余数集(见下面参考)中的元素的个数Z(x)等于Z(m)×Z(n)元素的个数；而Z(m)×Z(n)= φ(m)φ(n)

故有: φ(mn) =φ(m)φ(n) 成立。

(3)任意正整数的欧拉函数的相关证明:

任意一个整数n都可以表示为其质因子的乘积:

n=(p(1)*k(1)) *(p(2)*k(2)) *(p(3)*k(3))…(p(i)*k(i))*…*(p(I)*k(I)) 其中I为n 的质因子的个数。

根据(1)(2)的结论，很容易得出它的欧拉函数为:

φ(n)=n(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(i)) 其中I为n 的质因子的个数。

对于任意n>2,2|φ(n) 必定存在 p(i)-1是偶数

欧拉定理的相关证明:

(1) 令Z(n)={ X(1),X(2),…,X(φ(n)) } S={ a*X(1) mod n, a*X(2) mod n ,…,a*X(φ(n)) mod n },则 Z(n)=S。

1)因为a与n互质(即:gcd(a,n)=1), X(i)(1≤i≤φ(n))与n互质(即:gcd(X(i),n)=1);所以

a*X(i)与n互质(即:gcd(a*X(i),n)=1),故 a*X(i) mod n ∈ Z(n)。

2)若i≠j,那么 X(i)≠X(j) ,又有a与n互质(即:gcd(a,n)==1)，则可得出: a*(X(i)) mod n ≠a*X(j) mod n (消去定律)。

(2) a^(φ(n))*X(1)*X(2)*X(3)*…*X(φ(n)) mod n

=(a*X(1))*(a*X(2))*(a*X(3))*…*(a*X(φ(n))) mod n

=(a*X(1) mod n)*(a*X(2) mod n)*(a*X(3) mod n)*…*(a*X(φ(n)) mod n) mod n

=X(1)*X(2)*X(3)*…*X(φ(n)) mod n。

对比等式左右两端，因为X(i)(1≤i≤φ(n))与n互质(即:gcd(X(i),n)==1) ,

故: a^φ(n)=1 mod n (恒等于)成立。

费马小定理的相关证明：

若正整数 a与素数p互质，则有a^(p-1)=1 mod n(恒等于)

由于φ(p)=p-1 且 a^φ(n)=1 mod n ，又有此处的p==n;

故:a^(p-1)=1 mod n成立。

此定理可以用来简化幂的模运算:

例如: 计算 7^222的个位数，实际上是求7^222被10除的余数。

且7与10互质，φ(10)=1，由欧拉定理知7^4= 1mod 10

故7^222=(7^4)^55*(7^2)=>(1^55)*(7^2)=>49=>9 mod 10

欧拉函数的延伸:

于或等于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(x) * x / 2 (n>1)。

相关知识参考:

完全余数集合：

定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Z(n) ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。显然 |Z(n)| ＝φ(n) 。

同余定理：

如果 a mod b = c 则有(a+kb) mod b =c(k为非0整数)

如果 a mod b = c 则有(ka) mod b =kc (k为正整数)

(a+b) mod c =((a mod c)+(b mod c )) mod c;

(a*b) mod c=((a mod c)*(b mod c)) mod c

欧拉函数模板

(1)直接求小于或等于n,且与n互质的个数:

int Euler(int n)
{
    int ret=n;
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)
        if(n%i==0)
        {
            ret=ret/i*(i-1);//先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i)))
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
        if(n>1)  ret=ret/n*(n-1);
        return ret;
}

筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数：

#define size 1000001
int euler[size];
void Init()
{
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1]=1;
    for(int i=2; i<size; i++)
        if(!euler[i])
        for(int j=i; j<size; j+=i)
        {
            if(!euler[j])  euler[j]=j;
            euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出        
        }
}

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int MAXN=1000010;
int dp[MAXN];
int main(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++){
        if(dp[i])continue;
        for(int j=i;j<MAXN;j+=i){
                if(!dp[j])dp[j]=j;
            dp[j]=dp[j]/i*(i-1);
        }
    }
    int N;
    while(~scanf("%d",&N))printf("%d\n",dp[N]);
    return 0;
}

欧拉函数（定义+性质+证明+模板）

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