先说欧拉函数的两条性质吧：
1.欧拉函数的求法，Euler(A)=A*(1-1/p1)*(1-1/p2)*....*(1-1/pn)。（p为A的分解质因数中的不同的质因数）
证明：首先我们从给出的一个实例12开始分析，从1到12的数依次为：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
找到12分解质因数中存在的质因子：2 3，那么我们在1~12中去掉2的倍数和3的倍数，得到的即为Euler(12)，因为如果存在一个数a，使得gcd(12,a)!=1,那么2|gcd(12,a) (注：gcd(12,a)是2的倍数）或者 3|gcd(12,a)。
所以我们得到最简单的求n的欧拉函数的求法：列出1~n的数，去掉其中所有（p1,p2...pn)的倍数，即为答案。但是这一步可以简化，对于p1来说，去掉p1后的数为A-A/p1，对于然后去掉p2的倍数，剩下来的数为A*（1-1/p1)*(1-1/p2) （这一步可以好好自己琢磨琢磨），最终剩下的数量为A*（1-1/p1)*(1-1/p2)*....*(1-1/pn)。
最终得到解：Euler(A)=A*(1-1/p1)*(1-1/p2)*....*(1-1/pn)。（p为A的分解质因数中的不同的质因数）
2.欧拉函数中，当A与B是互素时，Euler(A*B)=Euler(A)*Euler(B)，即欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。
证明：对于A的不同质因数，Pa1,Pa2,..Pan，有Euler(A)=A*(1-1/Pa1)*(1-1/Pa2)*...*(1-1/Pan)，对于B的不同质因数，Pb1,Pb2,...Pbn，Euler(B)=B*(1-1/Pb1)*(1-1/Pb2)*....*(1-1/Pbn)。如果Pai属于A，那么Pai一定不属于B，因为如果属于了，那么GCD（A,B）就为Pai了啊。所以我们有理由得到A*B的不同质因数有且仅为Pa1,Pa2,..Pan，Pb1,Pb2,...Pbn，所以Euler(A*B)=A*B*(1-1/Pa1)*(1-1/Pa2)*...*(1-1/Pan)*(1-1/Pb1)*(1-1/Pb2)*....*(1-1/Pbn)=A*(1-1/Pa1)*(1-1/Pa2)*...*(1-1/Pan)*B*(1-1/Pb1)*(1-1/Pb2)*....*(1-1/Pbn)=Euler(A)*Euler(B)。
有了上面两条性质，我们写起Euler函数的代码就轻松多了。
写Euler函数之前，我们先给出三个条件：
1.对于素数A，有Euler(A)=A*(1-1/A)=A-1。（A有且只有一个质因子，它自己）
2.如果对于任意数A和素数p，有A%p==0，那么Euler(A*p)=p*Euler(A)。（证明：设A的质因子为p,P1,P2,..Pn，那么A*p的质因子也一定是p,P1,P2,..Pn，所以Euler(A)=A*(1-1/p)*(1-1/P1)*...*(1-1/Pn)，Euler(A*p)=A*p*(1-1/p)*(1-1/P1)*...*(1-1/Pn)，所以Euler(A*p)=Euler(A)*p。）
3.如果对于任意数A和素数p,有A%p!=0,那么A与p互素，所以Euler(A*p)=Euler(A)*Euler(p)=Euler(A)*(p-1)。
有了以上三个条件，我们再来借鉴筛素数的方法，即可快速得到Euler函数的值，将复杂度降到O(n)。
代码：
void Euler() {
memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime));
memset(prime, 0, sizeof(prime));
for (int i=1; i<MAXN; ++i) euler[i]=i;
p_cnt=0;
for (int i=2; i<MAXN; ++i) {
if (is_prime[i]) {
prime[p_cnt++]=i;
euler[i]=i-1;
}
for (int j=0; j<p_cnt&&prime[j]*i<MAXN; ++j) {
is_prime[prime[j]*i]=false;
if (i%prime[j]==0) {
euler[i*prime[j]]=euler[i]*prime[j]; //条件2的递推
break; //为啥break?拿3,5,7,15,35,105动手推一下，这里确保每个数只
}
else {
euler[i*prime[j]]=euler[i]*(prime[j]-1); //条件3的递推
}
}
}
} 关于它的应用，可以浏览博客（PS:一定程度参照了这位博主的博客）：