欧拉函数
欧拉函数,符号记作φ(n)φ(n),其值为小于nn且与nn互质的数的个数
性质
①
对于质数nn
φ(n)=n−1φ(n)=n−1
②
对于n=pkn=pk
φ(n)=(p−1)∗pk−1φ(n)=(p−1)∗pk−1
③
【积性函数】
对于gcd(n,m)=1gcd(n,m)=1
φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)
④
【计算式】
对于n=∏pkiin=∏piki
φ(n)=n∗∏(1−1pi)φ(n)=n∗∏(1−1pi)
⑤
【欧拉定理】
对于互质的a,ma,m
aφ(m)≡1(modm)aφ(m)≡1(modm)
⑥
小于nn且与nn互质的数的和:
S=n∗φ(n)2S=n∗φ(n)2
⑦
对于质数pp
若nmodp=0nmodp=0
φ(n∗p)=φ(n)∗pφ(n∗p)=φ(n)∗p
若nmodp≠0nmodp≠0
φ(n∗p)=φ(n)∗(p−1)φ(n∗p)=φ(n)∗(p−1)
⑧
∑d|nφ(d)=n∑d|nφ(d)=n
φ(n)=∑d|nμ(d)∗nd